Исследуйте на экстремум функцию z = x²y – xy – y² – 2y.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим частные производные первого порядка по x и y:
• \( \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy - y \)
• \( \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - x - 2y - 2 \)
2. Шаг 2: Приравниваем частные производные к нулю и решаем систему уравнений:
• \( 2xy - y = 0 \) \(\Rightarrow\) \( y(2x - 1) = 0 \)
• \( x^2 - x - 2y - 2 = 0 \)
3. Шаг 3: Рассмотрим два случая из первого уравнения:
• Случай 1: \( y = 0 \). Подставляем в уравнение 2:
  • \( x^2 - x - 2 = 0 \)
  • Решаем квадратное уравнение: \( D = 1 + 8 = 9 \), \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \).
  • Получаем две точки: (2, 0) и (-1, 0).
• Случай 2: \( 2x - 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{1}{2} \). Подставляем в уравнение 2:
  • \( (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2y - 2 = 0 \)
  • \( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2y - 2 = 0 \)
  • \( -\frac{1}{4} - 2y - 2 = 0 \)
  • \( -2y = \frac{9}{4} \)
  • \( y = -\frac{9}{8} \)
  • Получаем точку: (\(\frac{1}{2}\), -\(\frac{9}{8}\)).
4. Шаг 4: Находим частные производные второго порядка:
• \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2y \)
• \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2 \)
• \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2x - 1 \)
5. Шаг 5: Вычисляем определитель \( \Delta = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y})^2 \) в каждой из найденных точек:
• Точка (2, 0):
  • \( \Delta = (2 \cdot 0) \cdot (-2) - (2 \cdot 2 - 1)^2 = 0 - 3^2 = -9 < 0 \). Следовательно, в точке (2, 0) экстремума нет.
• Точка (-1, 0):
  • \( \Delta = (2 \cdot 0) \cdot (-2) - (2 \cdot (-1) - 1)^2 = 0 - (-3)^2 = -9 < 0 \). Следовательно, в точке (-1, 0) экстремума нет.
• Точка (\(\frac{1}{2}\), -\(\frac{9}{8}\)):
  • \( \Delta = (2 \cdot -\frac{9}{8}) \cdot (-2) - (2 \cdot \frac{1}{2} - 1)^2 = \frac{9}{2} \cdot 2 - 0^2 = 9 > 0 \). \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2 \cdot -\frac{9}{8} = -\frac{9}{4} < 0 \). Следовательно, в точке (\(\frac{1}{2}\), -\(\frac{9}{8}\)) есть максимум.

Ответ: Функция имеет максимум в точке (\(\frac{1}{2}\), -\(\frac{9}{8}\)). Экстремума в точках (2, 0) и (-1, 0) нет.