Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
I Sx²- y² = 9 X. + 2 2 y² =41 2 §2x = y² +23 (2x² = y +29 X 2 S (3x-1)=5y ((3+x)²=5g Π x²y²=24 2 74 2 S3x²=7y+33 2²+39 2 S (4x-1)²=119 218+x)²= 114.
Ответ:
Марина, приветствую! Давай разберем эти системы уравнений. Посмотри, как можно шаг за шагом решить каждую из них.
Система I:
\[\begin{cases}x^2 - y^2 = 9 \\x^2 + y^2 = 41\end{cases}\]
Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от \(y^2\):
\[2x^2 = 50\]
\[x^2 = 25\]
\[x = \pm 5\]
Теперь найдем \(y\) для каждого значения \(x\):
Если \(x = 5\):
\[5^2 + y^2 = 41\]
\[25 + y^2 = 41\]
\[y^2 = 16\]
\[y = \pm 4\]
Если \(x = -5\):
\[(-5)^2 + y^2 = 41\]
\[25 + y^2 = 41\]
\[y^2 = 16\]
\[y = \pm 4\]
Решения: \((5, 4), (5, -4), (-5, 4), (-5, -4)\)
Система II:
\[\begin{cases}2x^2 = y^2 + 23 \\2x = y + 29\end{cases}\]
Выразим \(y\) из второго уравнения:
\[y = 2x - 29\]
Подставим это в первое уравнение:
\[2x^2 = (2x - 29)^2 + 23\]
\[2x^2 = 4x^2 - 116x + 841 + 23\]
\[0 = 2x^2 - 116x + 864\]
\[0 = x^2 - 58x + 432\]
Решим квадратное уравнение:
\[x = \frac{-(-58) \pm \sqrt{(-58)^2 - 4(1)(432)}}{2(1)}\]
\[x = \frac{58 \pm \sqrt{3364 - 1728}}{2}\]
\[x = \frac{58 \pm \sqrt{1636}}{2}\]
\[x = \frac{58 \pm 2\sqrt{409}}{2}\]
\[x = 29 \pm \sqrt{409}\]
Теперь найдем \(y\) для каждого значения \(x\):
Если \(x = 29 + \sqrt{409}\):
\[y = 2(29 + \sqrt{409}) - 29\]
\[y = 58 + 2\sqrt{409} - 29\]
\[y = 29 + 2\sqrt{409}\]
Если \(x = 29 - \sqrt{409}\):
\[y = 2(29 - \sqrt{409}) - 29\]
\[y = 58 - 2\sqrt{409} - 29\]
\[y = 29 - 2\sqrt{409}\]
Решения: \((29 + \sqrt{409}, 29 + 2\sqrt{409}), (29 - \sqrt{409}, 29 - 2\sqrt{409})\)
Система III:
\[\begin{cases}(3x - 1)^2 = 5y \\(3 + x)^2 = 5y\end{cases}\]
Так как обе части равны \(5y\), приравняем их:
\[(3x - 1)^2 = (3 + x)^2\]
\[9x^2 - 6x + 1 = x^2 + 6x + 9\]
\[8x^2 - 12x - 8 = 0\]
\[2x^2 - 3x - 2 = 0\]
Решим квадратное уравнение:
\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}\]
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}\]
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}\]
\[x = \frac{3 \pm 5}{4}\]
\[x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2\]
\[x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}\]
Теперь найдем \(y\) для каждого значения \(x\):
Если \(x = 2\):
\[5y = (3 + 2)^2\]
\[5y = 25\]
\[y = 5\]
Если \(x = -\frac{1}{2}\):
\[5y = (3 - \frac{1}{2})^2\]
\[5y = (\frac{5}{2})^2\]
\[5y = \frac{25}{4}\]
\[y = \frac{5}{4}\]
Решения: \((2, 5), (-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})\)
Система IV:
\[\begin{cases}(4x - 1)^2 = 11y \\(18 + x)^2 = 11y\end{cases}\]
Приравняем обе части:
\[(4x - 1)^2 = (18 + x)^2\]
\[16x^2 - 8x + 1 = x^2 + 36x + 324\]
\[15x^2 - 44x - 323 = 0\]
Решим квадратное уравнение:
\[x = \frac{-(-44) \pm \sqrt{(-44)^2 - 4(15)(-323)}}{2(15)}\]
\[x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 + 19380}}{30}\]
\[x = \frac{44 \pm \sqrt{21316}}{30}\]
\[x = \frac{44 \pm 146}{30}\]
\[x_1 = \frac{44 + 146}{30} = \frac{190}{30} = \frac{19}{3}\]
\[x_2 = \frac{44 - 146}{30} = \frac{-102}{30} = -\frac{17}{5}\]
Теперь найдем \(y\) для каждого значения \(x\):
Если \(x = \frac{19}{3}\):
\[11y = (18 + \frac{19}{3})^2\]
\[11y = (\frac{54 + 19}{3})^2\]
\[11y = (\frac{73}{3})^2\]
\[11y = \frac{5329}{9}\]
\[y = \frac{5329}{99}\]
Если \(x = -\frac{17}{5}\):
\[11y = (18 - \frac{17}{5})^2\]
\[11y = (\frac{90 - 17}{5})^2\]
\[11y = (\frac{73}{5})^2\]
\[11y = \frac{5329}{25}\]
\[y = \frac{5329}{275}\]
Решения: \((\frac{19}{3}, \frac{5329}{99}), (-\frac{17}{5}, \frac{5329}{275})\)
Ответ: Выше приведены решения каждой системы уравнений.
Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Не останавливайся на достигнутом, и все получится!
