Итоговая контрольная работа по алгебре 7 класс (по учебнику «Алгебра 7» Мордковича А. Г.) Вариант 1

Вариант 1

Решение:

1. Разложим многочлен на множители:

   \( 3a^3 - 12ab^2 = 3a(a^2 - 4b^2) = 3a(a - 2b)(a + 2b) \)

2. Приведём одночлен к стандартному виду:

   \( (-4x^3y)^2 \cdot (5xy^2) = (16x^6y^2) \cdot (5xy^2) = 80x^{6+1}y^{2+2} = 80x^7y^4 \)

3. Решим уравнение:

   \( 11x - (9x + 5) = 7 \)
   \( 11x - 9x - 5 = 7 \)
   \( 2x = 7 + 5 \)
   \( 2x = 12 \)
   \( x = 6 \)

4. Представим в виде суммы одночленов:

   a) \( (8a - 3)(3a + 5) = 8a \cdot 3a + 8a \cdot 5 - 3 \cdot 3a - 3 \cdot 5 = 24a^2 + 40a - 9a - 15 = 24a^2 + 31a - 15 \)
   б) \( (6c - 4b)^2 = (6c)^2 - 2 \cdot 6c \cdot 4b + (4b)^2 = 36c^2 - 48cb + 16b^2 \)

5. Решим графически систему уравнений:

   \( \begin{cases} x + 3y = 6 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \)
   Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 6 - 3y \).
   Подставим во второе уравнение:
   \( 2(6 - 3y) + y = 7 \)
   \( 12 - 6y + y = 7 \)
   \( -5y = 7 - 12 \)
   \( -5y = -5 \)
   \( y = 1 \)
   Подставим \( y = 1 \) в \( x = 6 - 3y \):
   \( x = 6 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3 \)
   Точка пересечения графиков: (3; 1).

6. Пусть \( v \) — собственная скорость катера (км/ч), тогда скорость по течению \( v + 2 \) км/ч, а против течения \( v - 2 \) км/ч.

   Время движения по течению: 2 часа.

   Время движения против течения: 3 часа.

   Пройденное расстояние по течению: \( 2(v + 2) \) км.

   Пройденное расстояние против течения: \( 3(v - 2) \) км.

   Общее пройденное расстояние: 148 км.

   Составим уравнение:

   \( 2(v + 2) + 3(v - 2) = 148 \)
   \( 2v + 4 + 3v - 6 = 148 \)
   \( 5v - 2 = 148 \)
   \( 5v = 150 \)
   \( v = 30 \)

   Собственная скорость катера — 30 км/ч.

7. Докажем, что если \( 2a - b = 5 \), то \( 8a^3 - b^3 = 125 + 30ab \).

   Из условия \( 2a - b = 5 \) выразим \( b \): \( b = 2a - 5 \).

   Теперь подставим это выражение в левую часть равенства \( 8a^3 - b^3 \):

   \( 8a^3 - (2a - 5)^3 \)

   Воспользуемся формулой куба разности \( (x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \).

   \( 8a^3 - ((2a)^3 - 3(2a)^2 · 5 + 3 · 2a · 5^2 - 5^3) \)
   \( 8a^3 - (8a^3 - 3 · 4a^2 · 5 + 6a · 25 - 125) \)
   \( 8a^3 - (8a^3 - 60a^2 + 150a - 125) \)
   \( 8a^3 - 8a^3 + 60a^2 - 150a + 125 \)
   \( 60a^2 - 150a + 125 \)

   Теперь рассмотрим правую часть равенства \( 125 + 30ab \). Подставим \( b = 2a - 5 \):

   \( 125 + 30a(2a - 5) \)
   \( 125 + 60a^2 - 150a \)
   \( 60a^2 - 150a + 125 \)

   Левая и правая части равны. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: 1. \( 3a(a - 2b)(a + 2b) \); 2. \( 80x^7y^4 \); 3. \( x = 6 \); 4. а) \( 24a^2 + 31a - 15 \), б) \( 36c^2 - 48cb + 16b^2 \); 5. \( (3; 1) \); 6. \( 30 \) км/ч; 7. Доказано.