Итоговая контрольная работа по алгебре 7 класс. Вариант 1. 1. Упростить выражение: а) 3a²b(-5a³b) б) (2x²y)² в) (3x-1)•(3x+1)+(3x+1)² 2. Разложите на множители: а) 25a-ab² б) 3a²-6a+3 в) а²+5а+5b-b² 3. Решите уравнения: а) 3x-5•(2x+1)=3•(3-2x) б) x-4/2 +3x=5 4. Построить график функции: y=2x-3 5. Решите систему уравнений: а) {3x-5=4, 5x+2y=12.} б) {y-2x=4, x-3y=-2.} 6. Решите задачу: За 8 ч. По течению моторная лодка проходит расстояние в 2 раза больше, чем за 5 часов против течения. Какова скорость течения, если собственная скорость лодки 13,5 км/ч.

Решение:

Вариант 1

1. Упростить выражение:

• а) \( 3a^2b
  \cdot (-5a^3b) = -15a^{2+3}b^{1+1} = -15a^5b^2 \)
• б) \( (2x^2y)^2 = (2)^2 (x^2)^2 (y)^2 = 4x^4y^2 \)
• в) \( (3x-1)(3x+1) + (3x+1)^2 = (9x^2 - 1) + (9x^2 + 6x + 1) = 9x^2 - 1 + 9x^2 + 6x + 1 = 18x^2 + 6x \)

2. Разложите на множители:

• а) \( 25a - ab^2 = a(25 - b^2) = a(5-b)(5+b) \)
• б) \( 3a^2 - 6a + 3 = 3(a^2 - 2a + 1) = 3(a-1)^2 \)
• в) \( a^2+5a+5b-b^2 \) — разложить на множители не удается.

3. Решите уравнения:

• а) \( 3x - 5(2x+1) = 3(3-2x) \)
  \( 3x - 10x - 5 = 9 - 6x \)
  \( -7x - 5 = 9 - 6x \)
  \( -7x + 6x = 9 + 5 \)
  \( -x = 14 \)
  \( x = -14 \)
• б) \( \frac{x-4}{2} + 3x = 5 \)
  \( x - 4 + 6x = 10 \)
  \( 7x = 14 \)
  \( x = 2 \)

4. Построить график функции:

Для построения графика \( y=2x-3 \), найдем две точки:

• При \( x=0 \), \( y=2(0)-3 = -3 \). Точка (0; -3).
• При \( x=1 \), \( y=2(1)-3 = -1 \). Точка (1; -1).

5. Решите систему уравнений:

• а) \( \begin{cases} 3x - 5 = 4 \ 5x + 2y = 12
  \end{cases} \)
  Из первого уравнения: \( 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \).
  Подставим \( x=3 \) во второе уравнение: \( 5(3) + 2y = 12 \)
  \( 15 + 2y = 12 \)
  \( 2y = -3 \)
  \( y = -1.5 \)
• б) \( \begin{cases} y - 2x = 4 \ x - 3y = -2
  \end{cases} \)
  Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 2x + 4 \).
  Подставим во второе уравнение: \( x - 3(2x+4) = -2 \)
  \( x - 6x - 12 = -2 \)
  \( -5x = 10 \)
  \( x = -2 \).
  Найдем \( y \): \( y = 2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0 \).

6. Решите задачу:

Пусть \( v_l \) — собственная скорость лодки, \( v_t \) — скорость течения.

Скорость по течению: \( v_l + v_t \). Скорость против течения: \( v_l - v_t \).

Расстояние по течению за 8 часов: \( S_1 = 8(v_l + v_t) \).

Расстояние против течения за 5 часов: \( S_2 = 5(v_l - v_t) \).

По условию \( S_1 = 2S_2 \).

\( 8(v_l + v_t) = 2
\cdot 5(v_l - v_t) \)

\( 8(v_l + v_t) = 10(v_l - v_t) \)

\( 8v_l + 8v_t = 10v_l - 10v_t \)

\( 18v_t = 2v_l \)

\( v_t = \frac{2v_l}{18} = \frac{v_l}{9} \).

Известно, что \( v_l = 13.5 \) км/ч.

\( v_t = \frac{13.5}{9} = 1.5 \) км/ч.

Ответ: Скорость течения равна 1,5 км/ч.