Итоговая контрольная работа по геометрии. 7 класс. Вариант 1. 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что ∆АОС = ∆BOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°.

1. а) Доказательство, что треугольник ABC — равнобедренный:
   1. Найдём угол B: \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 70° - 55° = 55° \).
   2. Так как \( \angle B = \angle C = 55° \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC.
2. б) Найдите углы, на которые высота ВМ делит угол ABC:
   1. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.
   2. Угол ABC равен 55°. Высота ВМ делит угол ABC на два угла: ∠ABM и ∠MBC.
   3. Так как ВМ — биссектриса, то \( \angle ABM = \angle MBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{55°}{2} = 27.5° \).

Ответ: 1. а) Углы при основании равны (55°), значит, треугольник равнобедренный с основанием BC. б) Углы равны по 27.5°.

2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них.

1. а) Докажите, что ∆АОС = ∆BOD.
   1. По условию, AO = OB и CO = OD (так как O — середина отрезков AB и CD).
   2. Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, поэтому \( \angle AOC = \angle BOD \).
   3. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), ∆АОС = ∆BOD.
2. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°.
   1. Из равенства треугольников ∆АОС = ∆BOD следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \).
   2. Нам дано \( \angle ODB = 20° \), значит, \( \angle OCA = 20° \).
   3. В треугольнике AOC: \( \angle AOC = 115° \), \( \angle OCA = 20° \).
   4. Найдём \( \angle OAC \): \( \angle OAC = 180° - \angle AOC - \angle OCA = 180° - 115° - 20° = 45° \).

Ответ: а) ∆АОС = ∆BOD по двум сторонам и углу между ними. б) ∠OAC = 45°.

3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

1. Рассмотрим два случая:
   1. Случай 1: Основание равно 16 см.
      Периметр = 2 * (боковая сторона) + основание.
      \( 64 = 2 × (боковая сторона) + 16 \)
      \( 2 × (боковая сторона) = 64 - 16 \)
      \( 2 × (боковая сторона) = 48 \)
      \( боковая сторона = × 48 / 2 = 24 \) см.
   2. Случай 2: Боковая сторона равна 16 см.
      Периметр = 2 * (боковая сторона) + основание.
      \( 64 = 2 × 16 + основание \)
      \( 64 = 32 + основание \)
      \( основание = 64 - 32 = 32 \) см.
      В этом случае боковые стороны равны 16 см, а основание — 32 см. Треугольник существует, так как сумма двух боковых сторон (16 + 16 = 32) равна основанию, но для существования треугольника должно быть строго больше. Теорема о неравенстве треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. В данном случае: \( 16 + 16 = 32 \), что не больше 32. Треугольник с такими сторонами не существует.

Ответ: Длина боковой стороны треугольника равна 24 см.