Итоговая контрольная работа по геометрии (9 класс) 2 вариант № 1. Две стороны параллелограмма равны 4 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма. № 2. В треугольнике АВС известно, что АС = 3√2 см, ВС = 3 см, ∠A = 30°. На угол В.

Задание 1. Параллелограмм

Дано:

• Сторона 1: \( a = 4 \) см.
• Сторона 2: \( b = 4\sqrt{3} \) см.
• Угол между ними: \( \alpha = 30^\circ \).

Найти: 1) большую диагональ \( d_1 \) 2) площадь \( S \).

Решение:

1. Диагональ: Используем теорему косинусов для нахождения диагонали. Большая диагональ лежит напротив тупого угла. Другой угол параллелограмма равен \( 180^ - 30^ = 150^ \).
2. \( d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab    \), где \( \alpha = 150^\circ \).
3. \( d_1^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2  4  4\sqrt{3}  (150^) \)
4. \( d_1^2 = 16 + 48 - 32\sqrt{3}  (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \)
5. \( d_1^2 = 64 + 48 \)
6. \( d_1^2 = 112 \)
7. \( d_1 = \sqrt{112} = \sqrt{16  7} = 4\sqrt{7} \) см.
8. Площадь: Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними.
9. \( S = a  b   \), где \( \alpha = 30^\circ \).
10. \( S = 4  4\sqrt{3}  (30^) \)
11. \( S = 16\sqrt{3}  \frac{1}{2} \)
12. \( S = 8\sqrt{3} \) см².

Ответ: 1) \( 4\sqrt{7} \) см; 2) \( 8\sqrt{3} \) см².

Задание 2. Треугольник АВС

Дано:

• \( AC = 3\sqrt{2} \) см.
• \( BC = 3 \) см.
• \( \angle A = 30^\circ \).

Найти: \( \angle B \).

Решение:

1. Используем теорему синусов: \( \frac{AC}{ B} = \frac{BC}{ A} \)
2. Подставим значения: \( \frac{3\sqrt{2}}{ B} = \frac{3}{ 30^} \)
3. \( \frac{3\sqrt{2}}{ B} = \frac{3}{\frac{1}{2}} \)
4. \( \frac{3\sqrt{2}}{ B} = 6 \)
5. \(  B = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
6. Следовательно, \( \angle B = 45^\circ \).

Ответ: \( 45^\circ \).