Итоговая контрольная работа по геометрии за курс 8 класса. Часть 2. Вариант 1.

Решение:

1. Задача 1: Прямая MN параллельна стороне AC треугольника ABC. По теореме о подобных треугольниках (или о средней линии, если бы MN была средней линией), треугольник BMN подобен треугольнику BAC. Отношение подобия равно отношению соответствующих сторон: \( \frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} \). Нам дано \( AB = 24 \), \( AC = 21 \), \( MN = 14 \). \( \frac{MN}{AC} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \). Тогда \( \frac{BM}{BA} = \frac{2}{3} \). \( BM = \frac{2}{3} BA = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16 \). Так как \( AB = AM + MB \), то \( AM = AB - BM = 24 - 16 = 8 \).
2. Задача 2: В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой. Пусть сторона равностороннего треугольника равна \( a \). Медиана (высота) \( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \). По условию, медиана равна \( 11\sqrt{3} \). \( \frac{a \sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3} \). Умножим обе части на 2: \( a \sqrt{3} = 22\sqrt{3} \). Разделим обе части на \( \sqrt{3} \): \( a = 22 \).
3. Задача 3: Дано: ABCD — параллелограмм. O — точка пересечения диагоналей. Прямая, проходящая через O, пересекает AB в точке E и CD в точке F. Доказать: AE = CF. В параллелограмме диагонали пересекаются в точке О, которая является серединой каждой диагонали. Рассмотрим треугольники \( \triangle AEO \) и \( \triangle CFO \). \( AO = CO \) (так как O — середина диагонали AC). \( \angle AEO = \angle CFO \) (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей EF). \( \angle E AO = \angle FCO \) (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC). Следовательно, \( \triangle AEO \) равен \( \triangle CFO \) по второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол). Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, значит, \( AE = CF \).

Ответ: 1. 8; 2. 22; 3. Доказано.