Итоговая контрольная работа по математике за І семестр (Вариант: 2). № 1. Решите линейное/дробно-рациональное уравнение/уравнение, содержащее знак модуля (36). 4x- a) 2 x3 5x 2 19 7 = 57; 6) 2x 3 4x 2 6 в) 2х-5 = 2-х. № 2. Решите дробно-рациональное неравенство через совокупность двух систем/неравенство, содержащее знак модуля (26). 2x + 3 3x + 2 a) <2;|x-2| < 4; 6) №3. Решите систему и совокупность линейных неравенств (26). 5x-31+ x, 4x72x + 13 2 -3xx-5; a) 3x + 2 < 2x + 3; 6) №4. Решите систему линейных уравнений (46). a) { 2x-3y = -3, -6x + 9y = 9; б) { x2y+3z = 6, 2x+3y4z = 20, 3x-2y5z = 6; №5. Сократите дробь, разложив квадратный трёхчлен на множители/решите квадратное неравенство методом параболы, методом интервалов (46). a) 4 + 3aa2 б) 3a² + 4a +1-x²+x+2 > 0; B) (x 2)(x3)(x-4) > 0; (x+3)(x + 2) №6. Решите иррациональное уравнение и неравенство (46). a) √x + 2 = 3x-46) √2x + 9<3-x №7. Решите показательное уравнение и неравенство (46). a) 2x - 4x = 86) 23x > №8. Решите логарифмическое уравнение и неравенство (46). a) log5(x + 10) = 26) logg (4-2x) ≥ 2

Догой ученик, перед тобой решения контрольной работы. Удачи!

№1. Решите линейное/дробно-рациональное уравнение/уравнение, содержащее знак модуля (36).

a)

\[4x - \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 57;\] \[\frac{24x - 3x - 2x}{6} = 57;\] \[\frac{19x}{6} = 57;\] \[19x = 57 \cdot 6;\] \[19x = 342;\] \[x = \frac{342}{19};\] \[x = 18.\]

Ответ: 18

б)

\[\frac{5x - 2}{2x - 3} - \frac{19}{4x - 6} = \frac{7}{2};\] \[\frac{5x - 2}{2x - 3} - \frac{19}{2(2x - 3)} = \frac{7}{2};\] Умножим обе части уравнения на \(2(2x - 3)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[2(5x - 2) - 19 = 7(2x - 3);\] \[10x - 4 - 19 = 14x - 21;\] \[10x - 23 = 14x - 21;\] \[10x - 14x = -21 + 23;\] \[-4x = 2;\] \[x = -\frac{2}{4};\] \[x = -\frac{1}{2}.\]

Ответ: -1/2

в)

\[|2x - 5| = 2 - x.\] Рассмотрим два случая: 1) \(2x - 5 = 2 - x\) \[2x + x = 2 + 5;\] \[3x = 7;\] \[x = \frac{7}{3}.\] Проверим: \[|2 \cdot \frac{7}{3} - 5| = 2 - \frac{7}{3};\] \[|\frac{14}{3} - \frac{15}{3}| = \frac{6}{3} - \frac{7}{3};\] \[|-\frac{1}{3}| = -\frac{1}{3};\] \[\frac{1}{3}
e -\frac{1}{3}.\] Значит, \(x = \frac{7}{3}\) не является решением. 2) \(2x - 5 = -(2 - x)\) \[2x - 5 = -2 + x;\] \[2x - x = -2 + 5;\] \[x = 3.\] Проверим: \[|2 \cdot 3 - 5| = 2 - 3;\] \[|6 - 5| = -1;\] \[|1| = -1;\] \[1
e -1.\] Значит, \(x = 3\) не является решением.

Ответ: нет решений

№2. Решите дробно-рациональное неравенство через совокупность двух систем/неравенство, содержащее знак модуля (26).

а)

\[\frac{2x + 3}{3x + 2} < 2;\] \[\frac{2x + 3}{3x + 2} - 2 < 0;\] \[\frac{2x + 3 - 2(3x + 2)}{3x + 2} < 0;\] \[\frac{2x + 3 - 6x - 4}{3x + 2} < 0;\] \[\frac{-4x - 1}{3x + 2} < 0;\] \[\frac{4x + 1}{3x + 2} > 0.\] Найдем нули числителя и знаменателя: \[4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4};\] \[3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}.\] Определим знаки на интервалах:

       +            -            +
------(-2/3)------(-1/4)-------

Решением являются интервалы, где функция положительна: \[x < -\frac{2}{3}\) или \(x > -\frac{1}{4}.\]

Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (-\frac{1}{4}; +\infty)\)

б)

\[|x - 2| < 4;\] \[-4 < x - 2 < 4;\] \[-4 + 2 < x < 4 + 2;\] \[-2 < x < 6.\]

Ответ: \(x \in (-2; 6)\)

№3. Решите систему и совокупность линейных неравенств (26).

а)

\[\begin{cases} 4x + 7 > 2x + 13, \\ 3x + 2 < 2x + 3. \end{cases}\] Решим первое неравенство: \[4x - 2x > 13 - 7;\] \[2x > 6;\] \[x > 3.\] Решим второе неравенство: \[3x - 2x < 3 - 2;\] \[x < 1.\] Так как это система, то решения нет, потому что \(x\) не может быть одновременно больше 3 и меньше 1.

Ответ: нет решений

б)

\[\begin{cases} \frac{5x - 3}{2} > 1 + x, \\ \frac{1}{2} - 3x < \frac{2}{3}x - 5. \end{cases}\] Решим первое неравенство: \[5x - 3 > 2(1 + x);\] \[5x - 3 > 2 + 2x;\] \[5x - 2x > 2 + 3;\] \[3x > 5;\] \[x > \frac{5}{3}.\] Решим второе неравенство: \[\frac{1}{2} + 5 < \frac{2}{3}x + 3x;\] \[\frac{11}{2} < \frac{11}{3}x;\] \[x > \frac{11}{2} \cdot \frac{3}{11};\] \[x > \frac{3}{2}.\] Так как это система, то нужно найти пересечение решений. Оба неравенства требуют, чтобы \(x\) был больше некоторого числа, и \(\frac{5}{3} > \frac{3}{2}\), поэтому решением будет \(x > \frac{5}{3}\).

Ответ: \(x > \frac{5}{3}\)

№4. Решите систему линейных уравнений (46).

а)

\[\begin{cases} 2x - 3y = -3, \\ -6x + 9y = 9. \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 3: \[\begin{cases} 6x - 9y = -9, \\ -6x + 9y = 9. \end{cases}\] Сложим уравнения: \[0 = 0.\] Это означает, что система имеет бесконечно много решений. Выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения: \[2x = 3y - 3;\] \[x = \frac{3}{2}y - \frac{3}{2}.\]

Ответ: \(x = \frac{3}{2}y - \frac{3}{2}\)

б)

\[\begin{cases} x - 2y + 3z = 6, \\ 2x + 3y - 4z = 20, \\ 3x - 2y - 5z = 6. \end{cases}\] Умножим первое уравнение на -2 и сложим со вторым: \[-2(x - 2y + 3z) + (2x + 3y - 4z) = -2(6) + 20;\] \[-2x + 4y - 6z + 2x + 3y - 4z = -12 + 20;\] \[7y - 10z = 8.\] Умножим первое уравнение на -3 и сложим с третьим: \[-3(x - 2y + 3z) + (3x - 2y - 5z) = -3(6) + 6;\] \[-3x + 6y - 9z + 3x - 2y - 5z = -18 + 6;\] \[4y - 14z = -12;\] \[2y - 7z = -6.\] Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными: \[\begin{cases} 7y - 10z = 8, \\ 2y - 7z = -6. \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 2, а второе на -7: \[\begin{cases} 14y - 20z = 16, \\ -14y + 49z = 42. \end{cases}\] Сложим уравнения: \[29z = 58;\] \[z = 2.\] Подставим \(z = 2\) во второе уравнение: \[2y - 7(2) = -6;\] \[2y - 14 = -6;\] \[2y = 8;\] \[y = 4.\] Подставим \(y = 4\) и \(z = 2\) в первое уравнение: \[x - 2(4) + 3(2) = 6;\] \[x - 8 + 6 = 6;\] \[x - 2 = 6;\] \[x = 8.\]

Ответ: x = 8, y = 4, z = 2

№5. Сократите дробь, разложив квадратный трёхчлен на множители/решите квадратное неравенство методом параболы, методом интервалов (46).

а)

\[\frac{4 + 3a - a^2}{3a^2 + 4a + 1}\] Разложим числитель на множители: \[-a^2 + 3a + 4 = 0;\] \[a^2 - 3a - 4 = 0;\] \[D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25;\] \[a_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4;\] \[a_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1.\] Значит, \(-a^2 + 3a + 4 = -(a - 4)(a + 1)\). Разложим знаменатель на множители: \[3a^2 + 4a + 1 = 0;\] \[D = 4^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4;\] \[a_1 = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{1}{3};\] \[a_2 = \frac{-4 - 2}{6} = -1.\] Значит, \(3a^2 + 4a + 1 = 3(a + \frac{1}{3})(a + 1) = (3a + 1)(a + 1)\). Тогда дробь равна: \[\frac{-(a - 4)(a + 1)}{(3a + 1)(a + 1)} = \frac{-(a - 4)}{3a + 1} = \frac{4 - a}{3a + 1}.\]

Ответ: \(\frac{4 - a}{3a + 1}\)

б)

\[-x^2 + x + 2 > 0;\] \[x^2 - x - 2 < 0.\] Найдем корни квадратного трехчлена: \[x^2 - x - 2 = 0;\] \[D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9;\] \[x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2;\] \[x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1.\] Тогда неравенство можно переписать в виде: \[(x - 2)(x + 1) < 0.\] Определим знаки на интервалах:

       +            -            +
------(-1)--------(2)---------

Решением является интервал, где функция отрицательна: \[-1 < x < 2.\]

Ответ: \(x \in (-1; 2)\)

в)

\[\frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x + 3)(x + 2)} > 0.\] Найдем нули числителя и знаменателя: \[x = 2, 3, 4, -3, -2.\] Определим знаки на интервалах:

   -    +    -    +    -    +    -
--(-3)--(-2)--(2)--(3)--(4)--

Решением являются интервалы, где функция положительна: \[x \in (-3; -2) \cup (2; 3) \cup (4; +\infty).\]

Ответ: \(x \in (-3; -2) \cup (2; 3) \cup (4; +\infty)\)

№6. Решите иррациональное уравнение и неравенство (46).

а)

\[\sqrt{x + 2} = 3x - 4.\] Возведем обе части в квадрат: \[x + 2 = (3x - 4)^2;\] \[x + 2 = 9x^2 - 24x + 16;\] \[9x^2 - 25x + 14 = 0;\] \[D = (-25)^2 - 4(9)(14) = 625 - 504 = 121;\] \[x_1 = \frac{25 + 11}{18} = \frac{36}{18} = 2;\] \[x_2 = \frac{25 - 11}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}.\] Проверим: \[\sqrt{2 + 2} = 3(2) - 4;\] \[\sqrt{4} = 6 - 4;\] \[2 = 2.\] Значит, \(x = 2\) является решением. \[\sqrt{\frac{7}{9} + 2} = 3(\frac{7}{9}) - 4;\] \[\sqrt{\frac{7}{9} + \frac{18}{9}} = \frac{7}{3} - 4;\] \[\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{7}{3} - \frac{12}{3};\] \[\frac{5}{3} = -\frac{5}{3}.\] Значит, \(x = \frac{7}{9}\) не является решением.

Ответ: x = 2

б)

\[\sqrt{2x + 9} < 3 - x.\] Чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы \(2x + 9 \ge 0\), то есть \(x \ge -\frac{9}{2}\). Также необходимо, чтобы \(3 - x > 0\), то есть \(x < 3\). Возведем обе части в квадрат: \[2x + 9 < (3 - x)^2;\] \[2x + 9 < 9 - 6x + x^2;\] \[x^2 - 8x > 0;\] \[x(x - 8) > 0.\] Найдем нули: \[x = 0, 8.\] Определим знаки на интервалах:

   +    -    +
--(0)--(8)--

Решением является интервал, где функция положительна: \[x < 0 \text{ или } x > 8.\] С учетом ограничений \(-\frac{9}{2} \le x < 3\), решением будет: \[-\frac{9}{2} \le x < 0.\]

Ответ: \(x \in [-\frac{9}{2}; 0)\)

№7. Решите показательное уравнение и неравенство (46).

а)

\[2^x \cdot 4^{-x} = 8;\] \[2^x \cdot (2^2)^{-x} = 2^3;\] \[2^x \cdot 2^{-2x} = 2^3;\] \[2^{x - 2x} = 2^3;\] \[2^{-x} = 2^3;\] \[-x = 3;\] \[x = -3.\]

Ответ: x = -3

б)

\[2^{3x} > \frac{1}{8};\] \[2^{3x} > 2^{-3};\] \[3x > -3;\] \[x > -1.\]

Ответ: x > -1

№8. Решите логарифмическое уравнение и неравенство (46).

а)

\[\log_5(x + 10) = 2;\] \[x + 10 = 5^2;\] \[x + 10 = 25;\] \[x = 15.\] Проверим: \[\log_5(15 + 10) = \log_5(25) = 2.\] Значит, \(x = 15\) является решением.

Ответ: x = 15

б)

\[\log_8(4 - 2x) \ge 2.\] Чтобы логарифм имел смысл, необходимо, чтобы \(4 - 2x > 0\), то есть \(x < 2\). \[\log_8(4 - 2x) \ge 2;\] \[4 - 2x \ge 8^2;\] \[4 - 2x \ge 64;\] \[-2x \ge 60;\] \[x \le -30.\] С учетом ограничения \(x < 2\), решением будет: \[x \le -30.\]

Ответ: \(x \le -30\)