Итоговая контрольная работа по математике за курс 10 класса Вариант №1 Блок I. Корень n-ой степени. Иррациональные уравнения. №1. Найдите значение выражения: 1) \(\sqrt[3]{13+\sqrt{7}}\) 2) \(\sqrt[10]{\frac{10-16}{\sqrt{5}}}\) 3) \(\sqrt[49]{49}\) №2. Найдите корень уравнения: 1) \(\sqrt{15-2x}=3\) 2) \(\sqrt{x+2}=4\) 3) \(\sqrt{-72-17x}=-x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них. Блок II. Степень с рациональным показателем. Показательные уравнения. №1. Найдите значение выражения: 1) \(\frac{x^{-5} \cdot x^{3}}{x^{0}}\) при \( x=4 \) 2) \(\left(\frac{2^{1} \cdot 2^{1}}{\sqrt{2}}\right)^{2}\) 3) \(0,8^{1} \cdot 5^{1} \cdot 20^{1}\) №2. Найдите корень уравнения: 1) \(2^{4-2x}=64\) 2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-6}=8^{2}\) 3) \(6^{2-5x}=0,6 \cdot 10^{2-5x}\) Блок III. Логарифмы. Логарифмические уравнения. №1. Найдите значение выражения: 1) \((\log_{4} 4) \cdot (\log_{3} 81)\) 2) \(\frac{\log_{5} 5}{\log_{7} 7} + \log_{0,2} 5\) 3) \(16^{\log_{4} 7}\) №2. Найдите корень уравнения: 1) \(\log_{4}(7-3x)=-2\) 2) \(\log_{4}(x+3)=\log_{4}(4x-15)\) 3) \(\log_{5}(7-x)=\log_{5}(3-x)+1\) Блок IV. Тригонометрия. №1. Найдите значение выражения: 1) \(8 \sin \frac{5\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}\) 2) \(\frac{22(\sin^{2} 72^{\circ}-\cos^{2} 72^{\circ})}{\cos 144^{\circ}}\) 3) \(5 \operatorname{tg}(5\pi-\gamma)-\operatorname{tg}(-\gamma)\), если \(\operatorname{tg} \gamma=7\) №2. Найдите корень уравнения: 1) \(\cos \frac{\pi(x+5)}{3}=\frac{1}{2}\) В ответе запишите наибольший отрицательный корень. 2) \(\sin \frac{\pi(4x-3)}{4}=1\) В ответе напишите наибольший отрицательный корень. 3) \(\operatorname{tg} \frac{\pi(x+6)}{3}=-\sqrt{3}\) В ответе напишите наименьший положительный корень. №3. а) Решите уравнение \(\sin 2x = 2 \cos^{2} x\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]\).

Question

Итоговая контрольная работа по математике за курс 10 класса Вариант №1 Блок I. Корень n-ой степени. Иррациональные уравнения. №1. Найдите значение выражения: 1) \(\sqrt[3]{13+\sqrt{7}}\) 2) \(\sqrt[10]{\frac{10-16}{\sqrt{5}}}\) 3) \(\sqrt[49]{49}\) №2. Найдите корень уравнения: 1) \(\sqrt{15-2x}=3\) 2) \(\sqrt{x+2}=4\) 3) \(\sqrt{-72-17x}=-x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них. Блок II. Степень с рациональным показателем. Показательные уравнения. №1. Найдите значение выражения: 1) \(\frac{x^{-5} \cdot x^{3}}{x^{0}}\) при \( x=4 \) 2) \(\left(\frac{2^{1} \cdot 2^{1}}{\sqrt{2}}\right)^{2}\) 3) \(0,8^{1} \cdot 5^{1} \cdot 20^{1}\) №2. Найдите корень уравнения: 1) \(2^{4-2x}=64\) 2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-6}=8^{2}\) 3) \(6^{2-5x}=0,6 \cdot 10^{2-5x}\) Блок III. Логарифмы. Логарифмические уравнения. №1. Найдите значение выражения: 1) \((\log_{4} 4) \cdot (\log_{3} 81)\) 2) \(\frac{\log_{5} 5}{\log_{7} 7} + \log_{0,2} 5\) 3) \(16^{\log_{4} 7}\) №2. Найдите корень уравнения: 1) \(\log_{4}(7-3x)=-2\) 2) \(\log_{4}(x+3)=\log_{4}(4x-15)\) 3) \(\log_{5}(7-x)=\log_{5}(3-x)+1\) Блок IV. Тригонометрия. №1. Найдите значение выражения: 1) \(8 \sin \frac{5\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}\) 2) \(\frac{22(\sin^{2} 72^{\circ}-\cos^{2} 72^{\circ})}{\cos 144^{\circ}}\) 3) \(5 \operatorname{tg}(5\pi-\gamma)-\operatorname{tg}(-\gamma)\), если \(\operatorname{tg} \gamma=7\) №2. Найдите корень уравнения: 1) \(\cos \frac{\pi(x+5)}{3}=\frac{1}{2}\) В ответе запишите наибольший отрицательный корень. 2) \(\sin \frac{\pi(4x-3)}{4}=1\) В ответе напишите наибольший отрицательный корень. 3) \(\operatorname{tg} \frac{\pi(x+6)}{3}=-\sqrt{3}\) В ответе напишите наименьший положительный корень. №3. а) Решите уравнение \(\sin 2x = 2 \cos^{2} x\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]\).

Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Блок I. Корень n-ой степени. Иррациональные уравнения.

№1. Найдите значение выражения:

\(\sqrt[3]{13+\sqrt{7}}\) (Значение выражения невозможно вычислить точно без дополнительной информации или упрощения.)
\(\sqrt[10]{\frac{10-16}{\sqrt{5}}}\) (Выражение содержит отрицательное число под корнем нечетной степени, что требует комплексных чисел или возможно является ошибкой в записи.)
\(\sqrt[49]{49}\) = \(\sqrt[49]{7^{2}}\) (Это выражение можно упростить, но точное числовое значение сложно представить в простом виде.)

№2. Найдите корень уравнения:

\(\sqrt{15-2x}=3\) Возведём обе части в квадрат: \(15-2x = 3^2\) \(15-2x = 9\) \(-2x = 9-15\) \(-2x = -6\) \(x = 3\) Проверка: \(\sqrt{15-2\cdot 3} = \sqrt{15-6} = \sqrt{9} = 3\). Верно.
Ответ: x = 3.
\(\sqrt{x+2}=4\) Возведём обе части в квадрат: \(x+2 = 4^2\) \(x+2 = 16\) \(x = 16-2\) \(x = 14\) Проверка: \(\sqrt{14+2} = \sqrt{16} = 4\). Верно.
Ответ: x = 14.
\(\sqrt{-72-17x}=-x\) Возведём обе части в квадрат: \(-72-17x = (-x)^2\) \(-72-17x = x^2\) \(x^2+17x+72 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = b^2-4ac = 17^2 - 4\cdot 1 \cdot 72 = 289 - 288 = 1\) Корни: \(x_1 = \frac{-17+\sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{-17+1}{2} = \frac{-16}{2} = -8\) \(x_2 = \frac{-17-\sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{-17-1}{2} = \frac{-18}{2} = -9\) Проверим корни: Для \(x = -8\): \(\sqrt{-72-17\cdot(-8)} = \sqrt{-72+136} = \sqrt{64} = 8\). Справа: \(-x = -(-8) = 8\). Подходит. Для \(x = -9\): \(\sqrt{-72-17\cdot(-9)} = \sqrt{-72+153} = \sqrt{81} = 9\). Справа: \(-x = -(-9) = 9\). Подходит. Так как уравнение имеет более одного корня, в ответе запишем меньший из них.
Ответ: -9.

Блок II. Степень с рациональным показателем. Показательные уравнения.

№1. Найдите значение выражения:

\(\frac{x^{-5} \cdot x^{3}}{x^{0}}\) при \( x=4 \) Упростим выражение: \(\frac{x^{-5+3}}{1} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}\) Подставим \(x=4\): \(\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)
Ответ: \(\frac{1}{16}\).
\(\left(\frac{2^{1} \cdot 2^{1}}{\sqrt{2}}\right)^{2}\) Упростим выражение: \(\left(\frac{2^{1+1}}{2^{1/2}}\right)^{2} = \left(\frac{2^{2}}{2^{1/2}}\right)^{2} = \left(2^{2 - 1/2}\right)^{2} = \left(2^{3/2}\right)^{2} = 2^{(3/2) \cdot 2} = 2^{3} = 8\)
Ответ: 8.
\(0,8^{1} \cdot 5^{1} \cdot 20^{1}\) \(0.8 \cdot 5 \cdot 20 = \frac{4}{5} \cdot 5 \cdot 20 = 4 \cdot 20 = 80\)
Ответ: 80.

№2. Найдите корень уравнения:

\(2^{4-2x}=64\) Представим 64 как степень двойки: \(64 = 2^6\) \(2^{4-2x} = 2^6\) Приравниваем показатели степеней: \(4-2x = 6\) \(-2x = 6-4\) \(-2x = 2\) \(x = -1\)
Ответ: x = -1.
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-6}=8^{2}\) Представим обе части уравнения как степень двойки: \(\left(2^{-1}\right)^{x-6}=(2^3)^2\) \(2^{-(x-6)}=2^{3\cdot 2}\) \(2^{-x+6}=2^6\) Приравниваем показатели степеней: \(-x+6 = 6\) \(-x = 6-6\) \(-x = 0\) \(x = 0\)
Ответ: x = 0.
\(6^{2-5x}=0,6 \cdot 10^{2-5x}\) Разделим обе части на \(10^{2-5x}\): \(\frac{6^{2-5x}}{10^{2-5x}} = 0.6\) \(\left(\frac{6}{10}\right)^{2-5x} = 0.6\) \(0.6^{2-5x} = 0.6^1\) Приравниваем показатели степеней: \(2-5x = 1\) \(-5x = 1-2\) \(-5x = -1\) \(x = \frac{1}{5}\)
Ответ: x = \(\frac{1}{5}\).

Блок III. Логарифмы. Логарифмические уравнения.

№1. Найдите значение выражения:

\((\log_{4} 4) \cdot (\log_{3} 81)\) \(\log_{4} 4 = 1\) (по определению логарифма) \(\log_{3} 81 = \log_{3} 3^4 = 4\) \(1 \cdot 4 = 4\)
Ответ: 4.
\(\frac{\log_{5} 5}{\log_{7} 7} + \log_{0,2} 5\) \(\log_{5} 5 = 1\) \(\log_{7} 7 = 1\) \(\log_{0,2} 5 = \log_{1/5} 5 = \log_{5^{-1}} 5 = -1 \cdot \log_{5} 5 = -1\) \(\frac{1}{1} + (-1) = 1 - 1 = 0\)
Ответ: 0.
\(16^{\log_{4} 7}\) Преобразуем основание степени: \(16 = 4^2\) \((4^2)^{\log_{4} 7} = 4^{2 \cdot \log_{4} 7} = 4^{\log_{4} 7^2} = 4^{\log_{4} 49}\) По основному логарифмическому тождеству \(a^{\log_{a} b} = b\): \(4^{\log_{4} 49} = 49\)
Ответ: 49.

№2. Найдите корень уравнения:

\(\log_{4}(7-3x)=-2\) По определению логарифма: \(7-3x = 4^{-2}\) \(7-3x = \frac{1}{4^2}\) \(7-3x = \frac{1}{16}\) \(-3x = \frac{1}{16} - 7\) \(-3x = \frac{1 - 7 \cdot 16}{16}\) \(-3x = \frac{1 - 112}{16}\) \(-3x = \frac{-111}{16}\) \(x = \frac{-111}{16 \cdot (-3)}\) \(x = \frac{111}{48}\) \(x = \frac{37}{16}\) Проверка области допустимых значений: \(7-3x > 0\) \(7-3\cdot \frac{37}{16} = 7 - \frac{111}{16} = \frac{112-111}{16} = \frac{1}{16} > 0\). Верно.
Ответ: x = \(\frac{37}{16}\).
\(\log_{4}(x+3)=\log_{4}(4x-15)\) По свойству логарифмов, если \(\log_{a} b = \log_{a} c\), то \(b=c\). \(x+3 = 4x-15\) \(3+15 = 4x-x\) \(18 = 3x\) \(x = 6\) Проверка области допустимых значений: \(x+3 > 0 \Rightarrow 6+3 = 9 > 0\). Верно. \(4x-15 > 0 \Rightarrow 4\cdot 6 - 15 = 24 - 15 = 9 > 0\). Верно.
Ответ: x = 6.
\(\log_{5}(7-x)=\log_{5}(3-x)+1\) \(\log_{5}(7-x)=\log_{5}(3-x)+\log_{5} 5\) \(\log_{5}(7-x)=\log_{5}((3-x) \cdot 5)\) \(7-x = (3-x) \cdot 5\) \(7-x = 15-5x\) \(5x-x = 15-7\) \(4x = 8\) \(x = 2\) Проверка области допустимых значений: \(7-x > 0 \Rightarrow 7-2 = 5 > 0\). Верно. \(3-x > 0 \Rightarrow 3-2 = 1 > 0\). Верно.
Ответ: x = 2.

Блок IV. Тригонометрия.

№1. Найдите значение выражения:

\(8 \sin \frac{5\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}\) \(\frac{5\pi}{12} = \frac{5 \cdot 180^{\circ}}{12} = 5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ}\) \(\sin 75^{\circ} = \sin(45^{\circ}+30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) \(\cos 75^{\circ} = \cos(45^{\circ}+30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) \(8 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = 2(\sqrt{6}+\sqrt{2}) - \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2}) - (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \frac{8\sqrt{6}+8\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{7\sqrt{6}+9\sqrt{2}}{4}\) (Возможно, предполагалось другое упрощение или другая формула.)
\(\frac{22(\sin^{2} 72^{\circ}-\cos^{2} 72^{\circ})}{\cos 144^{\circ}}\) Воспользуемся формулами: \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha)\) \(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -\cos(2\alpha)\) \(\cos 144^{\circ} = \cos(2 \cdot 72^{\circ})\) \(\sin^2 72^{\circ}-\cos^{2} 72^{\circ} = -\cos(2 \cdot 72^{\circ}) = -\cos 144^{\circ}\) Тогда выражение равно: \(\frac{22(-\cos 144^{\circ})}{\cos 144^{\circ}} = -22\)
Ответ: -22.
\(5 \operatorname{tg}(5\pi-\gamma)-\operatorname{tg}(-\gamma)\), если \(\operatorname{tg} \gamma=7\) Используем свойства тангенса: \(\operatorname{tg}(5\pi-\gamma) = \operatorname{tg}(\pi-\gamma) = -\operatorname{tg} \gamma\) \(\operatorname{tg}(-\gamma) = -\operatorname{tg} \gamma\) Подставим в выражение: \(5(-\operatorname{tg} \gamma) - (-\operatorname{tg} \gamma) = -5 \operatorname{tg} \gamma + \operatorname{tg} \gamma = -4 \operatorname{tg} \gamma\) Так как \(\operatorname{tg} \gamma=7\): \(-4 \cdot 7 = -28\)
Ответ: -28.

№2. Найдите корень уравнения:

\(\cos \frac{\pi(x+5)}{3}=\frac{1}{2}\) Общее решение уравнения \(\cos t = \frac{1}{2}\): \(t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). \(\frac{\pi(x+5)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) Разделим на \(\pi\): \(\frac{x+5}{3} = \frac{1}{3} + 2k\) \(x+5 = 1 + 6k\) \(x = -4 + 6k\) \(\frac{\pi(x+5)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\) \(\frac{x+5}{3} = -\frac{1}{3} + 2k\) \(x+5 = -1 + 6k\) \(x = -6 + 6k\) Рассмотрим значения для \(k=0, 1, -1\) для отрицательных корней: Если \(k=0\): \(x = -4\) и \(x = -6\). Если \(k=1\): \(x = -4+6=2\) и \(x = -6+6=0\). Если \(k=-1\): \(x = -4-6=-10\) и \(x = -6-6=-12\). Наибольший отрицательный корень: -4.
Ответ: -4.
\(\sin \frac{\pi(4x-3)}{4}=1\) Общее решение уравнения \(\sin t = 1\): \(t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). \(\frac{\pi(4x-3)}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\) Разделим на \(\pi\): \(\frac{4x-3}{4} = \frac{1}{2} + 2k\) Умножим на 4: \(4x-3 = 2 + 8k\) \(4x = 5 + 8k\) \(x = \frac{5+8k}{4}\) Рассмотрим значения для \(k=0, -1, -2\) для отрицательных корней: Если \(k=0\): \(x = \frac{5}{4}\). Если \(k=-1\): \(x = \frac{5-8}{4} = \frac{-3}{4}\). Если \(k=-2\): \(x = \frac{5-16}{4} = \frac{-11}{4}\). Наибольший отрицательный корень: \(-\frac{3}{4}\).
Ответ: -\(\frac{3}{4}\).
\(\operatorname{tg} \frac{\pi(x+6)}{3}=-\sqrt{3}\) Общее решение уравнения \(\operatorname{tg} t = -\sqrt{3}\): \(t = -\frac{\pi}{3} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). \(\frac{\pi(x+6)}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi k\) Разделим на \(\pi\): \(\frac{x+6}{3} = -\frac{1}{3} + k\) Умножим на 3: \(x+6 = -1 + 3k\) \(x = -7 + 3k\) Рассмотрим значения для \(k=0, 1, 2, 3\) для положительных корней: Если \(k=0\): \(x=-7\). Если \(k=1\): \(x=-7+3=-4\). Если \(k=2\): \(x=-7+6=-1\). Если \(k=3\): \(x=-7+9=2\). Наименьший положительный корень: 2.
Ответ: 2.

№3. а) Решите уравнение \(\sin 2x = 2 \cos^{2} x\).

Воспользуемся формулой двойного угла для синуса и основным тригонометрическим тождеством: \(2 \sin x \cos x = 2 \cos^{2} x\) Перенесём всё в одну сторону: \(2 \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x = 0\) Вынесем общий множитель \(2 \cos x\): \(2 \cos x (\sin x - \cos x) = 0\) Это равенство верно, если: \(2 \cos x = 0\) или \(\sin x - \cos x = 0\). 1) \(\cos x = 0\) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). 2) \(\sin x - \cos x = 0\) \(\sin x = \cos x\) Разделим обе части на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\), что мы уже рассмотрели в пункте 1): \(\operatorname{tg} x = 1\) \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) и \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]\).

Рассмотрим корни \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\): Если \(k=0\): \(x = \frac{\pi}{2}\). Этот корень принадлежит отрезку. Если \(k=1\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}\). Этот корень принадлежит отрезку. Если \(k=-1\): \(x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}\). Этот корень принадлежит отрезку. Рассмотрим корни \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\): Если \(n=0\): \(x = \frac{\pi}{4}\). Этот корень принадлежит отрезку. Если \(n=1\): \(x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}\). Этот корень принадлежит отрезку. Если \(n=-1\): \(x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}\). Этот корень НЕ принадлежит отрезку (меньше \(-\frac{\pi}{2}\)).

Ответ: \(-\frac{\pi}{2}\); \(\frac{\pi}{4}\); \(\frac{\pi}{2}\); \(\frac{5\pi}{4}\); \(\frac{3\pi}{2}\).