Итоговая контрольная работа. Уровень 1 (легкий). У-1 Вариант 1 (задания). Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠CAD. Доказать: ΔABO = ΔCDO. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: AB || CD. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP? б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

1. Анализ первого условия:

• Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89).


• Найти: ∠CAD.


• Доказать: ΔABO = ΔCDO.

Доказательство равенства треугольников ΔABO и ΔCDO:

• BO = DO (дано).


• ∠AOB = ∠COD (как вертикальные углы).


• Поскольку ∠ABC = 45° и ∠BCD = 55°, а ∠AOC = 100°, мы можем найти другие углы.


• Угол ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 100° = 80° (развернутый угол).


• В треугольнике BOC: ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°.


• 45° + 55° + ∠BOC = 180° → ∠BOC = 180° - 100° = 80°.


• Таким образом, ∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 80° = 100°.


• В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.


• ∠BAC + ∠BCA + 45° = 180°.


• В треугольнике BCD: ∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = 180°.


• ∠CBD + ∠BDC + 55° = 180°.


• Чтобы доказать равенство треугольников ΔABO и ΔCDO, нам нужна еще одна пара равных элементов (сторона или угол).


• Предположим, что нам нужно использовать признак равенства по двум сторонам и углу между ними (СУС).


• Если предположить, что AB = CD, то тогда ΔABO = ΔCDO по СУС.


• Давайте пересмотрим условия, чтобы найти ∠CAD.


• Поскольку BO = DO, треугольник BOD — равнобедренный.


• Если мы предположим, что ∠ABO = ∠CDO, тогда ΔABO = ΔCDO по УСУ.


• Без дополнительной информации о равенстве сторон AB и CD, или углов ∠BAC и ∠ACD, невозможно однозначно доказать равенство треугольников или найти ∠CAD.

2. Анализ второго условия:

• Дано: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°.


• Найти: Два других угла треугольника АВС.

Решение:

• Так как ΔABC — равнобедренный с основанием АС, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.


• Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°.


• 42° + ∠BAC + ∠BAC = 180°.


• 2 * ∠BAC = 180° - 42° = 138°.


• ∠BAC = 138° / 2 = 69°.


• Следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 69°.

Ответ: Углы при основании равны 69° каждый.

3. Анализ третьего условия:

• Дано: Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние.


• Доказать: AB || CD.

Доказательство:

• Если ΔABC — равносторонний, то все его стороны равны: AB = BC = AC.


• Если ΔADC — равносторонний, то все его стороны равны: AD = DC = AC.


• Из равенства сторон следует, что AB = AC и CD = AC.


• Значит, AB = CD.


• В равностороннем треугольнике ABC, ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 60°.


• В равностороннем треугольнике ADC, ∠DAC = ∠ACD = ∠ADC = 60°.


• Рассмотрим углы, образованные секущей АС: ∠BAC и ∠ACD.


• ∠BAC = 60° и ∠ACD = 60°.


• Так как эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей АС, и они равны, то AB || CD.

4. Анализ четвертого условия (*):

• Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90).


• а) Найти: Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP?


• б) Найти: Длину медианы PD.

Решение пункта а):

• Рассмотрим прямоугольный треугольник EPM.


• Угол ∠EPM = 90°.


• Угол ∠MEP = 30°.


• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.


• Катет EP лежит против угла ∠EMP. Угол ∠EMP = 180° - 90° - 30° = 60°.


• Катет MP лежит против угла ∠MEP = 30°.


• Следовательно, MP = ME / 2 = 10 см / 2 = 5 см.


• Используем теорему Пифагора для нахождения EP:


• EP² + MP² = ME²


• EP² + 5² = 10²


• EP² + 25 = 100


• EP² = 100 - 25 = 75


• EP = √75 = √(25 * 3) = 5√3 см.


• Приближенное значение √3 ≈ 1.732.


• EP ≈ 5 * 1.732 = 8.66 см.

Ответ а): Длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9.

Решение пункта б):

• Найти: Длину медианы PD.


• Медиана PD проводится из вершины P к середине стороны EМ.


• В прямоугольном треугольнике EPM, MP = 5 см, EP = 5√3 см.


• Точка D является серединой ME.


• Однако, в условии задачи есть противоречие: дано ∠EPM = 90°, но на рисунке 5.90 изображен прямоугольный треугольник MEP, где ∠EPM = 90°. И точка D не определена.


• Предполагаем, что речь идет о треугольнике MEP, где P — вершина прямого угла, а PD — медиана к гипотенузе ME.


• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.


• ME = 10 см.


• PD = ME / 2 = 10 см / 2 = 5 см.

Ответ б): Длина медианы PD равна 5 см.