Итоговое тестирование по дисциплине. Из приведенных ниже утверждений верными являются: а) графики функций y = 7^x и y = - 1 / 7^x симметричны относительно оси ординат; б) графики функций y = 7^x и y = 1 / 7^x не пересекают ось Ох; в) графики функций симметричны относительно оси абсцисс; г) графики функций y = 7^x и y = - 1 / 7^x пересекают ось Оу в разных точках. Выберите один вариант ответа

Решение:

Рассмотрим функции \( y = 7^x \) и \( y = -\frac{1}{7^x} \).

а) Симметрия относительно оси ординат (оси Y):

Две функции \( f(x) \) и \( g(x) \) симметричны относительно оси Y, если \( g(x) = f(-x) \) или \( g(x) = -f(x) \) и \( f(x) = g(-x) \). Проверим:

Пусть \( f(x) = 7^x \) и \( g(x) = -\frac{1}{7^x} \).

\( f(-x) = 7^{-x} = \frac{1}{7^x} \).

\( -f(x) = -7^x \).

\( g(-x) = -\frac{1}{7^{-x}} = -7^x \).

\( -g(x) = -(-\frac{1}{7^x}) = \frac{1}{7^x} \).

Видно, что \( g(-x) = -7^x \) и \( -g(x) = \frac{1}{7^x} \). Нет прямой симметрии относительно оси Y между \( y = 7^x \) и \( y = -\frac{1}{7^x} \).

б) Пересечение с осью Ох (осью Y):

График функции пересекает ось Ох, когда \( y = 0 \).

Для \( y = 7^x \): \( 7^x = 0 \) — решений нет, так как показательная функция всегда положительна. График не пересекает ось Ох.

Для \( y = -\frac{1}{7^x} \): \( -\frac{1}{7^x} = 0 \) — решений нет, так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю, а здесь числитель равен -1.

Следовательно, обе функции не пересекают ось Ох. Утверждение верно.

в) Симметрия относительно оси абсцисс (оси X):

Функции, симметричные относительно оси X, имеют вид \( y = f(x) \) и \( y = -f(x) \), где одна является отрицанием другой. В данном случае \( y = 7^x \) и \( y = -\frac{1}{7^x} \). Если бы было \( y = -7^x \), то была бы симметрия. Но у нас \( y = -\frac{1}{7^x} \).

г) Пересечение с осью Оу (осью X):

График функции пересекает ось Оу, когда \( x = 0 \).

Для \( y = 7^x \): при \( x = 0 \), \( y = 7^0 = 1 \). Точка пересечения (0, 1).

Для \( y = -\frac{1}{7^x} \): при \( x = 0 \), \( y = -\frac{1}{7^0} = -\frac{1}{1} = -1 \). Точка пересечения (0, -1).

Функции пересекают ось Оу в разных точках (0, 1) и (0, -1). Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения б) и г).

Ответ: б и г