Итоговое тестирование по дисциплине. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

Решение:

На рисунке изображена парабола и закрашена площадь под ней от \( x = -1 \) до \( x = 0 \).

По графику видно, что вершина параболы находится в точке \( (0, 10) \), а оси симметрии — \( x=0 \). Парабола проходит через точки \( (-2, 6) \) и \( (2, 6) \), \( (-3, 1) \) и \( (3, 1) \).

Уравнение параболы имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \). Так как вершина находится на оси \( y \), то \( b = 0 \). Уравнение имеет вид \( y = ax^2 + c \).

Из вершины \( (0, 10) \) следует, что \( c = 10 \). Уравнение: \( y = ax^2 + 10 \).

Используем точку \( (2, 6) \): \( 6 = a(2)^2 + 10 \) \( 6 = 4a + 10 \) \( 4a = -4 \) \( a = -1 \).

Уравнение параболы: \( y = -x^2 + 10 \).

Площадь закрашенной фигуры находится как интеграл от \( x = -1 \) до \( x = 0 \) функции \( y = -x^2 + 10 \):

\[ S = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 10) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 10x \right]_{-1}^{0} \]

\[ S = \left( -\frac{0^3}{3} + 10 \cdot 0 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + 10 \cdot (-1) \right) \]

\[ S = 0 - \left( -\frac{-1}{3} - 10 \right) \]

\[ S = - \left( \frac{1}{3} - 10 \right) \]

\[ S = - \left( \frac{1 - 30}{3} \right) \]

\[ S = - \left( -\frac{29}{3} \right) \]

\[ S = \frac{29}{3} \]

Ответ: \( \frac{29}{3} \)