Итоговое тестирование по дисциплине. Решите уравнение: 5^x + 125/5^x = 30. Выберите один вариант ответа: 7, 9, 8, 12, 10.

Решение:

Обозначим \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y + \frac{125}{y} = 30 \]

Умножим обе части уравнения на \( y \) (при этом \( y
e 0 \), что верно, так как \( 5^x > 0 \) для любого \( x \)):

\[ y^2 + 125 = 30y \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ y^2 - 30y + 125 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 125 = 900 - 500 = 400 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 + \sqrt{400}}{2} = \frac{30 + 20}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 - \sqrt{400}}{2} = \frac{30 - 20}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 5^x \):

1. Если \( y = 25 \):

\[ 5^x = 25 \]

\[ 5^x = 5^2 \]

\[ x = 2 \]

2. Если \( y = 5 \):

\[ 5^x = 5 \]

\[ 5^x = 5^1 \]

\[ x = 1 \]

Проверим полученные корни в исходном уравнении:

Если \( x = 2 \): \( 5^2 + \frac{125}{5^2} = 25 + \frac{125}{25} = 25 + 5 = 30 \). Верно.

Если \( x = 1 \): \( 5^1 + \frac{125}{5^1} = 5 + \frac{125}{5} = 5 + 25 = 30 \). Верно.

В вариантах ответа нет числа 1 или 2. Проверим условие задания и варианты ответов.

Среди вариантов ответа нет правильного. Возможно, в задании ошибка или в вариантах ответов.

Перепроверим вычисления. Все вычисления верны.

По условию, нужно выбрать один вариант ответа. Так как ни один из предложенных вариантов (7, 9, 8, 12, 10) не является решением уравнения, данное задание не может быть выполнено.

Примечание: Если предположить, что в вариантах ответов есть ошибка, то правильные ответы x = 1 и x = 2. Однако, при необходимости выбрать из предложенных вариантов, задача не имеет решения.