IV.133. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций: 1) y=|2x+6|+|2x-6| и у= x + 12; 2) y = |x-1|+ |x + 1| и у=2х2.

1) y=|2x+6|+|2x-6| и у= x + 12

Рассмотрим функцию $$y=|2x+6|+|2x-6|$$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая:

1. $$x \le -3$$, тогда $$y = -(2x+6) - (2x-6) = -2x - 6 - 2x + 6 = -4x$$
2. $$-3 < x < 3$$, тогда $$y = (2x+6) - (2x-6) = 2x + 6 - 2x + 6 = 12$$
3. $$x \ge 3$$, тогда $$y = (2x+6) + (2x-6) = 2x + 6 + 2x - 6 = 4x$$

Теперь рассмотрим функцию $$y=x+12$$.

Найдем точки пересечения графиков функций, рассматривая каждый случай отдельно:

1. $$x \le -3$$, тогда $$-4x = x + 12 \Rightarrow -5x = 12 \Rightarrow x = -\frac{12}{5} = -2.4$$. Но так как $$x \le -3$$, то этот корень не подходит.
2. $$-3 < x < 3$$, тогда $$12 = x + 12 \Rightarrow x = 0$$. Так как $$-3 < 0 < 3$$, то этот корень подходит.
3. $$x \ge 3$$, тогда $$4x = x + 12 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$$. Так как $$x \ge 3$$, то этот корень подходит.

Тогда абсциссы точек пересечения графиков функций: $$x=0$$ и $$x=4$$.

Ответ: 0; 4

2) y = |x-1|+ |x + 1| и у=2х²

Рассмотрим функцию $$y = |x-1|+ |x + 1|$$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая:

1. $$x \le -1$$, тогда $$y = -(x-1) - (x+1) = -x + 1 - x - 1 = -2x$$
2. $$-1 < x < 1$$, тогда $$y = -(x-1) + (x+1) = -x + 1 + x + 1 = 2$$
3. $$x \ge 1$$, тогда $$y = (x-1) + (x+1) = x - 1 + x + 1 = 2x$$

Теперь рассмотрим функцию $$y=2x^2$$.

Найдем точки пересечения графиков функций, рассматривая каждый случай отдельно:

1. $$x \le -1$$, тогда $$-2x = 2x^2 \Rightarrow 2x^2 + 2x = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) = 0$$. Корни: $$x = 0$$ и $$x = -1$$. Так как $$x \le -1$$, то корень $$x = 0$$ не подходит, а $$x=-1$$ подходит.
2. $$-1 < x < 1$$, тогда $$2 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$. Но так как $$-1 < x < 1$$, то ни один из корней не подходит.
3. $$x \ge 1$$, тогда $$2x = 2x^2 \Rightarrow 2x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(x - 1) = 0$$. Корни: $$x = 0$$ и $$x = 1$$. Так как $$x \ge 1$$, то корень $$x = 0$$ не подходит, а $$x = 1$$ подходит.

Тогда абсциссы точек пересечения графиков функций: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Ответ: -1; 1