IV. Самостоятельная работа Гуровень 1. Рис. 694. Дано: $$\cup AB : \cup AC = 3 : 2$$, $$\angle A = 50^{\circ}$$. Найти: $$\angle B$$, $$\angle C$$, $$\angle BOC$$. 2. Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите CD, если AE = 4 см, BE = 9 см, а длина CE в четыре раза больше длины DE.

Решение задачи 1:

Дано:

• Дуга AB : Дуга AC = 3 : 2
• ∠ A = 50°

Найти:

• ∠ B
• ∠ C
• ∠ BOC

Решение:

1. Находим градусные меры дуг:
• Пусть градусная мера дуги AC равна $$2x$$, тогда градусная мера дуги AB равна $$3x$$.
• ∠ A — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• ∠ A = ½ ∠ BOC
• ∠ BOC = 2 * ∠ A = 2 * 50° = 100°.
• Градусная мера дуги BC = 100°.
• ∠ A опирается на дугу BC.
• ∠ A = 50°.
• Вся окружность составляет 360°.
• ∠ BAC = 50° (опирается на дугу BC).
• ∠ BAC = ½ ∠ BOC
• ∠ BOC = 2 * 50° = 100°.
• Пусть ∠ AC = $$2x$$, ∠ AB = $$3x$$.
• ∠ BOC = 100°.
• ∠ BOC = ½ (∠ AB + ∠ AC) — это угол между хордами.
• ∠ BOC = 100°.
• ∠ A = 50°.
• ∠ ABC = ½ ∠ AC
• ∠ ACB = ½ ∠ AB
• ∠ AB + ∠ AC + ∠ BC = 360°
• $$3x + 2x + 100° = 360°
• $$5x = 260°
• $$x = 52°
• ∠ AC = 2 * 52° = 104°
• ∠ AB = 3 * 52° = 156°
• Проверка: 104° + 156° + 100° = 360°.
• ∠ B = ½ ∠ AC = ½ * 104° = 52°.
• ∠ C = ½ ∠ AB = ½ * 156° = 78°.
• Проверка: В треугольнике ABC: 50° + 52° + 78° = 180°.

Ответ: ∠ B = 52°, ∠ C = 78°, ∠ BOC = 100°.

Решение задачи 2:

Дано:

• Хорды AB и CD пересекаются в точке E.
• AE = 4 см
• BE = 9 см
• CE = 4 * DE

Найти:

• CD

Решение:

1. Используем теорему о пересекающихся хордах: Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
2. AE * BE = CE * DE
3. 4 см * 9 см = CE * DE
4. 36 = CE * DE
5. Подставляем соотношение CE = 4 * DE:
6. 36 = (4 * DE) * DE
7. 36 = 4 * DE^2
8. DE^2 = 36 / 4
9. DE^2 = 9
10. DE = √9
11. DE = 3 см (длина не может быть отрицательной).
12. Находим длину CE:
13. CE = 4 * DE = 4 * 3 см = 12 см.
14. Находим длину CD:
15. CD = CE + DE = 12 см + 3 см = 15 см.

Ответ: CD = 15 см.