IV вариант 1. Определите синус и косинус острого угла а прямоугольного треугольника (рис. 32). 2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам а, β, γ и ф (рис. 33). Определите значения си- нуса и косинуса каждого из этих углов. 3. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам а, для каждого из которых спра- ведливо равенство: a) sin a = 1; √3. 2 6) sina √2 1 B) cos a = r) cos a = 2 2 β k m α n Рис. 32 y α -; Y φ Запишите все такие углы а. Рис. 33 x

Привет! Сейчас я помогу тебе разобраться с этими задачами. Будем решать их по порядку.

Задача 1: Определение синуса и косинуса острого угла α

Давай внимательно посмотрим на рисунок 32. Нам нужно определить синус и косинус угла α в прямоугольном треугольнике.

Синус угла (sin α) в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:

\[\sin \alpha = \frac{m}{n}\]

Косинус угла (cos α) в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:

\[\cos \alpha = \frac{k}{n}\]

Задача 2: Определение синуса и косинуса углов α, β, γ и φ

Теперь посмотрим на рисунок 33. Нам нужно определить синус и косинус каждого из углов α, β, γ и φ на единичной окружности.

• Угол α: находится в первой четверти.

\[\sin \alpha > 0, \quad \cos \alpha > 0\]

• Угол β: находится во второй четверти.

\[\sin \beta > 0, \quad \cos \beta < 0\]

• Угол γ: находится в третьей четверти.

\[\sin \gamma < 0, \quad \cos \gamma < 0\]

• Угол φ: находится в четвертой четверти.

\[\sin \varphi < 0, \quad \cos \varphi > 0\]

Точные значения синуса и косинуса для каждого угла можно определить, зная конкретные градусные меры углов, но в общем виде знаки будут такими, как указано выше.

Задача 3: Определение углов α по заданным значениям синуса и косинуса

Нам нужно найти все углы α, для которых справедливы следующие равенства:

a) sin α = 1

Угол, синус которого равен 1, это угол 90° или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

\[\alpha = 90^\circ + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}\]

б) sin α = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Углы, синус которых равен -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), находятся в третьей и четвертой четвертях. Это углы 240° и 300°.

\[\alpha = 240^\circ + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}\]

\[\alpha = 300^\circ + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}\]

в) cos α = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Углы, косинус которых равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), находятся в первой и четвертой четвертях. Это углы 45° и 315°.

\[\alpha = 45^\circ + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}\]

\[\alpha = 315^\circ + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}\]

г) cos α = -\(\frac{1}{2}\)

Углы, косинус которых равен -\(\frac{1}{2}\), находятся во второй и третьей четвертях. Это углы 120° и 240°.

\[\alpha = 120^\circ + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}\]

\[\alpha = 240^\circ + 360^\circ k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: Решения выше показывают значения синуса и косинуса для углов на единичной окружности, а также углы, соответствующие заданным значениям синуса и косинуса.