Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
IV вариант 1. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стан- дартного вида: a) (n²-2m)²; в) (x³-2y) (x³+2y); б) (3a²+b²)²; г) (2x²- y) (2x²+y). 2. Разложите на множители: a) (2a³-3b²)²-(2a³+b²)²; в) x²-5x+4; 3 6) a²+2a²b²+4b4; г) х²+6ху+8y². 3. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стан- дартного вида: 3(3-x2)²-(9-3x²+x4) (x²+3)-3 (x2−x) (x²+x). 4. Вычислите значение алгебраического выражения при каждом значении х: (x-1)(x-3)(x+4)-(x+1)(x+3)(x-4).
Ответ:
- 1. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стандартного вида:
- a) $$(n^2-2m)^2$$
Используем формулу квадрата разности: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$.
$$(n^2-2m)^2 = (n^2)^2 - 2(n^2)(2m) + (2m)^2 = n^4 - 4n^2m + 4m^2$$
Ответ: $$n^4 - 4mn^2 + 4m^2$$ - б) $$(3a^2+\frac{1}{2}b^2)^2$$
Используем формулу квадрата суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.
$$(3a^2+\frac{1}{2}b^2)^2 = (3a^2)^2 + 2(3a^2)(\frac{1}{2}b^2) + (\frac{1}{2}b^2)^2 = 9a^4 + 3a^2b^2 + \frac{1}{4}b^4$$
Ответ: $$9a^4 + 3a^2b^2 + \frac{1}{4}b^4$$ - в) $$(x^3-2y)(x^3+2y)$$
Используем формулу разности квадратов: $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$.
$$(x^3-2y)(x^3+2y) = (x^3)^2 - (2y)^2 = x^6 - 4y^2$$
Ответ: $$x^6 - 4y^2$$ - г) $$(2x^2-\frac{1}{3}y)(2x^2+\frac{1}{3}y)$$
Используем формулу разности квадратов: $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$.
$$(2x^2-\frac{1}{3}y)(2x^2+\frac{1}{3}y) = (2x^2)^2 - (\frac{1}{3}y)^2 = 4x^4 - \frac{1}{9}y^2$$
Ответ: $$4x^4 - \frac{1}{9}y^2$$
- a) $$(n^2-2m)^2$$
- 2. Разложите на множители:
- a) $$(2a^3-3b^2)^2-(2a^3+b^2)^2$$
Используем формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.
$$(2a^3-3b^2)^2-(2a^3+b^2)^2 = ((2a^3-3b^2)-(2a^3+b^2))((2a^3-3b^2)+(2a^3+b^2)) = (2a^3-3b^2-2a^3-b^2)(2a^3-3b^2+2a^3+b^2) = (-4b^2)(4a^3-2b^2) = -16a^3b^2+8b^4 = 8b^4-16a^3b^2$$
Ответ: $$8b^4 - 16a^3b^2$$ - б) $$\frac{1}{4}a^4+2a^2b^2+4b^4$$
Выделим полный квадрат:
$$\frac{1}{4}a^4+2a^2b^2+4b^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2 + 2(\frac{1}{2}a^2)(2b^2) + (2b^2)^2 = (\frac{1}{2}a^2+2b^2)^2$$
Ответ: $$(\frac{1}{2}a^2+2b^2)^2$$ - в) $$x^2-5x+4$$
Решим квадратное уравнение $$x^2-5x+4=0$$
Найдем дискриминант $$D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9$$
Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:
$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$
$$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$
Разложение на множители: $$(x-x_1)(x-x_2) = (x-4)(x-1)$$
Ответ: $$(x - 1)(x - 4)$$ - г) $$x^2+6xy+8y^2$$
Пусть $$x^2+6xy+8y^2 = 0$$
$$D = (6y)^2-4 \cdot 1 \cdot 8y^2 = 36y^2 - 32y^2 = 4y^2$$
$$x_1 = \frac{-6y+2y}{2} = \frac{-4y}{2} = -2y$$
$$x_2 = \frac{-6y-2y}{2} = \frac{-8y}{2} = -4y$$
Разложение на множители: $$(x+2y)(x+4y)$$.
Ответ: $$(x+2y)(x+4y)$$.
- a) $$(2a^3-3b^2)^2-(2a^3+b^2)^2$$
- 3. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стандартного вида: $$3(3-x^2)^2-(9-3x^2+x^4)(x^2+3)-3(x^2-x)(x^2+x)$$ $$= 3(9-6x^2+x^4)-(9x^2+27-3x^4-9x^2+x^6+3x^4)-3(x^4-x^2)$$ $$= 27-18x^2+3x^4-(27+x^6)-3x^4+3x^2$$ $$= 27-18x^2+3x^4-27-x^6-3x^4+3x^2 = -x^6-15x^2$$ Ответ: $$-x^6-15x^2$$
- 4. Вычислите значение алгебраического выражения при каждом значении х: $$(x-1)(x-3)(x+4)-(x+1)(x+3)(x-4)$$ $$=(x-1)(x^2+x-12)-(x+1)(x^2-x-12)$$ $$=x^3+x^2-12x-x^2-x+12-(x^3-x^2-12x+x^2-x-12)$$ $$=x^3-13x+12-(x^3-13x-12) = x^3-13x+12-x^3+13x+12 = 24$$ Ответ: $$24$$
