IV вариант 1. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стан- дартного вида: a) (n²-2m)²; в) (x³-2y) (x+2y); 6) (3a²+b²)²; r) (2x²-) (2x²+x). 2. Разложите на множители: a) (2a³-3b²)²-(2a²+b²)²; B) x²-5x+4; 6) a²+2a²-b²+46; г) х²+6ху +8у². 3. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стан- дартного вида: 3(3-x²)²-(9-3x²+x) (x²+3)-3 (x²-x) (x²+x). 4. Вычислите значение алгебраического выражения при каждом значении х (x-1)(x-3)(x+4)-(x+1)(x+3)(x-4). 48

1. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стандартного вида:

a) $$(n^2-2m)^2$$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Тогда: $$(n^2-2m)^2 = (n^2)^2 - 2 \cdot n^2 \cdot 2m + (2m)^2 = n^4 - 4n^2m + 4m^2$$

Ответ: $$n^4 - 4n^2m + 4m^2$$

б) $$(3a^3 + \frac{1}{2}b^2)^2$$

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Тогда: $$(3a^3 + \frac{1}{2}b^2)^2 = (3a^3)^2 + 2 \cdot 3a^3 \cdot \frac{1}{2}b^2 + (\frac{1}{2}b^2)^2 = 9a^6 + 3a^3b^2 + \frac{1}{4}b^4$$

Ответ: $$9a^6 + 3a^3b^2 + \frac{1}{4}b^4$$

в) $$(x^3-2y)(x^3+2y)$$

Воспользуемся формулой разности квадратов: $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$

Тогда: $$(x^3-2y)(x^3+2y) = (x^3)^2 - (2y)^2 = x^6 - 4y^2$$

Ответ: $$x^6 - 4y^2$$

г) $$(2x^2-\frac{1}{3}y)(2x^2+\frac{1}{3}y)$$

Воспользуемся формулой разности квадратов: $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$

Тогда: $$(2x^2-\frac{1}{3}y)(2x^2+\frac{1}{3}y) = (2x^2)^2 - (\frac{1}{3}y)^2 = 4x^4 - \frac{1}{9}y^2$$

Ответ: $$4x^4 - \frac{1}{9}y^2$$

2. Разложите на множители:

а) $$(2a^3-3b^2)^2-(2a^3+b^2)^2$$

Воспользуемся формулой разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

Тогда: $$(2a^3-3b^2)^2-(2a^3+b^2)^2 = (2a^3-3b^2 - (2a^3+b^2))(2a^3-3b^2 + (2a^3+b^2)) = (2a^3-3b^2 - 2a^3-b^2)(2a^3-3b^2 + 2a^3+b^2) = (-4b^2)(4a^3-2b^2) = -8b^2(2a^3-b^2)$$

Ответ: $$-8b^2(2a^3-b^2)$$

б) $$\frac{1}{4}a^4+2a^2b^2+4b^4$$

Преобразуем выражение к виду, близкому к полному квадрату:

$$\frac{1}{4}a^4+2a^2b^2+4b^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a^2 \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = (\frac{1}{2}a^2 + 2b^2)^2$$

Ответ: $$(\frac{1}{2}a^2 + 2b^2)^2$$

в) $$x^2-5x+4$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2-5x+4=0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 5$$

$$x_1 \cdot x_2 = 4$$

Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 4$$

Тогда: $$x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$$

Ответ: $$(x-1)(x-4)$$

г) $$x^2+6xy+8y^2$$

$$x^2+6xy+8y^2 = x^2 + 2xy + 4xy + 8y^2 = x(x+2y) + 4y(x+2y) = (x+2y)(x+4y)$$

Ответ: $$(x+2y)(x+4y)$$

3. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стандартного вида:

$$3(3-x^2)^2-(9-3x^2+x^4)(x^2+3)-3(x^2-x)(x^2+x)$$

$$3(9-6x^2+x^4)-(9x^2+27-3x^4-9x^2+x^6+3x^4)-3(x^4-x^2)$$

$$27-18x^2+3x^4-27-x^6-3x^4-3x^4+3x^2$$

$$-x^6-3x^4-15x^2$$

Ответ: $$-x^6-3x^4-15x^2$$

4. Вычислите значение алгебраического выражения при каждом значении х:

$$(x-1)(x-3)(x+4)-(x+1)(x+3)(x-4)$$

$$((x-1)(x-3))(x+4)-((x+1)(x+3))(x-4)$$

$$((x^2-3x-x+3))(x+4)-((x^2+3x+x+3))(x-4)$$

$$((x^2-4x+3))(x+4)-((x^2+4x+3))(x-4)$$

$$(x^3+4x^2-4x^2-16x+3x+12)-(x^3-4x^2+4x^2-16x+3x-12)$$

$$(x^3-13x+12)-(x^3-13x-12)$$

$$x^3-13x+12-x^3+13x+12$$

$$24$$

Ответ: $$24$$