IV вариант a) 4X²-12X+9<0 б) 2X²+3X-5>0 в) - X²-2X + 15 < 0 г) Х² + 6X < 0 д) 1/12 X² - 1/3 Х+1>0 е) X (X + 2)-3>0 1ж) Найти область определения функции: y = √10 +3X - X²

a) Решим неравенство 4X²-12X+9<0

Заметим, что 4X²-12X+9 = (2X-3)²

Тогда неравенство имеет вид (2X-3)²<0

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений

б) Решим неравенство 2X²+3X-5>0

Найдем корни уравнения 2X²+3X-5=0

$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$

$$X_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$X_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$

Тогда неравенство можно переписать в виде 2(X-1)(X+2.5)>0

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -2.5 и 1.

      +                -                +
--------------------|--------------------|-------------------->
                    -2.5                 1

Тогда решением неравенства будет X<-2.5 или X>1.

Ответ: X<-2.5 или X>1

в) Решим неравенство -X²-2X + 15 < 0

Умножим обе части неравенства на -1, получим X²+2X-15>0

Найдем корни уравнения X²+2X-15=0

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

$$X_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$X_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Тогда неравенство можно переписать в виде (X-3)(X+5)>0

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -5 и 3.

      +                -                +
--------------------|--------------------|-------------------->
                    -5                   3

Тогда решением неравенства будет X<-5 или X>3.

Ответ: X<-5 или X>3

г) Решим неравенство Х² + 6X < 0

Вынесем X за скобки: X(X+6)<0

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -6 и 0.

      +                -                +
--------------------|--------------------|-------------------->
                    -6                   0

Тогда решением неравенства будет -6

Ответ: -6

д) Решим неравенство 1/12 X² - 1/3 Х+1>0

Умножим обе части неравенства на 12, получим X² - 4Х+12>0

Найдем корни уравнения X² - 4Х+12=0

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$$

Дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет корней. Значит, X² - 4Х+12 всегда больше нуля.

Ответ: X ∈ (-∞;+∞)

е) Решим неравенство X (X + 2)-3>0

Раскроем скобки: X² + 2X - 3 > 0

Найдем корни уравнения X² + 2X - 3 = 0

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$X_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$X_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Тогда неравенство можно переписать в виде (X-1)(X+3)>0

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -3 и 1.

      +                -                +
--------------------|--------------------|-------------------->
                    -3                   1

Тогда решением неравенства будет X<-3 или X>1.

Ответ: X<-3 или X>1

ж) Найдем область определения функции: y = √10 +3X - X²

Область определения квадратного корня - неотрицательные числа, значит, 10 +3X - X² ≥ 0

-X² + 3X + 10 ≥ 0

Умножим обе части неравенства на -1, получим X² - 3X - 10 ≤ 0

Найдем корни уравнения X² - 3X - 10 = 0

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

$$X_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$X_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Тогда неравенство можно переписать в виде (X-5)(X+2) ≤ 0

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -2 и 5.

      +                -                +
--------------------|--------------------|-------------------->
                    -2                   5

Тогда решением неравенства будет -2 ≤ X ≤ 5.

Ответ: -2 ≤ X ≤ 5