Иван задумал трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Данное число уменьшил на трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получил число 198. Какое число задумал Иван? В ответ запиши наибольшее из возможных чисел. 1. Задуманное число – $$\overline{abc}$$ – $$\overline{cba}$$ = $$\Box$$ + $$\Box$$ $$\cdot$$ $$b$$ + $$\Box$$ $$\cdot$$ $$c$$. 2. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, $$\overline{cba}$$ = $$\Box$$ + $$\Box$$ $$\cdot$$ $$b$$ + $$\Box$$ $$\cdot$$ $$a$$. 3. Разность первой и последней цифры числа $$a - c$$ = $$\Box$$. 4. $$a$$ = $$\Box$$. 5. $$c$$ = $$\Box$$. 6. Наибольшим будет число $$\Box$$. Ответ: $$\Box$$

Решение: 1. Представим задуманное число и число, записанное в обратном порядке, в виде суммы разрядных слагаемых: $$\overline{abc} = 100a + 10b + c$$ $$\overline{cba} = 100c + 10b + a$$ 2. Запишем разность этих чисел: $$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)$$ 3. По условию задачи, эта разность равна 198: $$99(a - c) = 198$$ $$a - c = 198 / 99 = 2$$ 4. Таким образом, разность между первой и последней цифрами задуманного числа равна 2. 5. Найдём наибольшее возможное число $$\overline{abc}$$, удовлетворяющее условию $$a - c = 2$$. Поскольку нам нужно наибольшее число, то $$a$$ должна быть наибольшей. Максимальное значение для $$a$$ – 9. Если $$a = 9$$, то $$c = a - 2 = 9 - 2 = 7$$. Цифра $$b$$ может быть любой, так как она сокращается при вычитании. Чтобы получить наибольшее число, выберем для $$b$$ наибольшую цифру, то есть 9. 6. Итак, наибольшее число, которое мог задумать Иван – 997. 7. Проверим: $$997 - 799 = 198$$. Заполняем пропуски: 1. Задуманное число – $$\overline{abc}$$ – $$\overline{cba}$$ = 99 $$\cdot a$$ + 0 $$\cdot$$ $$b$$ - 99 $$\cdot$$ $$c$$. 2. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, $$\overline{cba}$$ = 100 $$\cdot c$$ + 10 $$\cdot$$ $$b$$ + 1 $$\cdot$$ $$a$$. 3. Разность первой и последней цифры числа $$a - c$$ = 2. 4. $$a$$ = 9. 5. $$c$$ = 7. 6. Наибольшим будет число 997. Ответ: **997**