2. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

Обозначим:

• N - немецкий
• A - английский
• F - французский

Из условия задачи:

• Всего туристов: 100
• $$|N| = 30$$
• $$|A| = 28$$
• $$|F| = 42$$
• $$|A \cap N| = 8$$
• $$|A \cap F| = 10$$
• $$|N \cap F| = 5$$
• $$|A \cap N \cap F| = 3$$

Требуется найти количество туристов, которые не владеют ни одним языком. Сначала найдем количество туристов, которые владеют хотя бы одним языком (т.е. $$|A \cup N \cup F|$$).

Используем формулу включений-исключений:

$$|A \cup N \cup F| = |A| + |N| + |F| - |A \cap N| - |A \cap F| - |N \cap F| + |A \cap N \cap F|$$

Подставим известные значения:

$$|A \cup N \cup F| = 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3$$

$$|A \cup N \cup F| = 100 - 23 + 3$$

$$|A \cup N \cup F| = 77 + 3 = 80$$

Значит, 80 туристов владеют хотя бы одним языком. Теперь найдем количество туристов, которые не владеют ни одним языком:

$$100 - |A \cup N \cup F| = 100 - 80 = 20$$

Ответ: 20 туристов не владеют ни одним языком.