Из 110 участников международной олимпиады английский язык знают 37 студентов, немецкий - 32, французский - 42, английский и немецкий - 11, английский и французский – 14, немецкий и французский - 8, все три языка знают 3 участника. Сколько участников международной олимпиады не знают ни одного из трех названных языков?

Решение:

Пусть:

• А - множество студентов, знающих английский язык (37)
• N - множество студентов, знающих немецкий язык (32)
• F - множество студентов, знающих французский язык (42)
• A ∩ N - множество студентов, знающих английский и немецкий (11)
• A ∩ F - множество студентов, знающих английский и французский (14)
• N ∩ F - множество студентов, знающих немецкий и французский (8)
• A ∩ N ∩ F - множество студентов, знающих все три языка (3)

Используем формулу включений-исключений для трех множеств:

$$|A ∪ N ∪ F| = |A| + |N| + |F| - |A ∩ N| - |A ∩ F| - |N ∩ F| + |A ∩ N ∩ F|$$

Подставляем известные значения:

$$|A ∪ N ∪ F| = 37 + 32 + 42 - 11 - 14 - 8 + 3 = 81$$

Таким образом, 81 студент знает хотя бы один из трех языков.

Чтобы найти количество студентов, не знающих ни одного из этих языков, нужно вычесть количество студентов, знающих хотя бы один язык, из общего числа участников олимпиады:

$$110 - |A ∪ N ∪ F| = 110 - 81 = 29$$

Ответ: 29 участников международной олимпиады не знают ни одного из трех названных языков.