15. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 32 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найди скорость первого автомобиля. Ответ дай в км/ч.

Обозначим скорость первого автомобиля за x км/ч. Пусть расстояние между А и В равно 2S км.

Тогда время, которое первый автомобиль затратил на путь из А в В, равно $$\frac{2S}{x}$$.

Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути со скоростью (x + 32) км/ч. Время, затраченное вторым автомобилем, равно $$\frac{S}{48} + \frac{S}{x+32}$$.

Так как автомобили прибыли в В одновременно, то $$\frac{2S}{x} = \frac{S}{48} + \frac{S}{x+32}$$.

Разделим обе части уравнения на S (S ≠ 0): $$\frac{2}{x} = \frac{1}{48} + \frac{1}{x+32}$$.

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

$$\frac{2}{x} = \frac{x+32+48}{48(x+32)}$$;

$$\frac{2}{x} = \frac{x+80}{48(x+32)}$$;

$$2 \cdot 48(x+32) = x(x+80)$$;

$$96(x+32) = x^2 + 80x$$;

$$96x + 96 \cdot 32 = x^2 + 80x$$;

$$x^2 + 80x - 96x - 96 \cdot 32 = 0$$;

$$x^2 - 16x - 96 \cdot 32 = 0$$;

$$x^2 - 16x - 3072 = 0$$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3072) = 256 + 12288 = 12544 = 112^2$$.

Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 112}{2} = \frac{128}{2} = 64$$; $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 112}{2} = \frac{-96}{2} = -48$$.

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость первого автомобиля равна 64 км/ч.

Ответ: 64