Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 56 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние от А до В (в км).

Пусть \( v_1 \) — постоянная скорость первого автомобиля (в км/ч).

Время первого автомобиля: \( t_1 = \frac{S}{v_1} \).

Скорость второго автомобиля на первой половине пути: \( v_{21} = 56 \) км/ч.

Время второго автомобиля на первой половине пути: \( t_{21} = \frac{S/2}{v_{21}} = \frac{S/2}{56} = \frac{S}{112} \).

Скорость второго автомобиля на второй половине пути: \( v_{22} = v_1 + 9 \) км/ч.

Время второго автомобиля на второй половине пути: \( t_{22} = \frac{S/2}{v_{22}} = \frac{S/2}{v_1 + 9} = \frac{S}{2(v_1 + 9)} \).

Общее время второго автомобиля: \( t_2 = t_{21} + t_{22} = \frac{S}{112} + \frac{S}{2(v_1 + 9)} \).

По условию, автомобили прибыли одновременно, значит \( t_1 = t_2 \):

\( \frac{S}{v_1} = \frac{S}{112} + \frac{S}{2(v_1 + 9)} \).

Разделим обе части уравнения на \( S \) (так как \( S \) не равно 0):

\( \frac{1}{v_1} = \frac{1}{112} + \frac{1}{2(v_1 + 9)} \).

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{1}{v_1} = \frac{2(v_1 + 9) + 112}{112 · 2(v_1 + 9)} \)

\( \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 18 + 112}{224(v_1 + 9)} \)

\( \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 130}{224(v_1 + 9)} \).

Перемножим крест-накрест:

\( 224(v_1 + 9) = v_1(2v_1 + 130) \)

\( 224v_1 + 2016 = 2v_1^2 + 130v_1 \).

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 2v_1^2 + 130v_1 - 224v_1 - 2016 = 0 \)

\( 2v_1^2 - 94v_1 - 2016 = 0 \).

Разделим на 2:

\( v_1^2 - 47v_1 - 1008 = 0 \).

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 · 1 · (-1008) = 2209 + 4032 = 6241 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{6241} = 79 \).

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{47 ± 79}{2} \).

\( v_{1,1} = \frac{47 + 79}{2} = \frac{126}{2} = 63 \).

\( v_{1,2} = \frac{47 - 79}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \).

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 63 км/ч.