Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика15. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 32 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найди скорость первого автомобиля. Ответ дай в км/ч.
Ответ:
Пусть скорость первого автомобиля равна \(v\) км/ч, а расстояние между А и В равно \(S\) км.
Тогда время, которое первый автомобиль затратил на весь путь, равно \(\frac{S}{v}\).
Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 48 км/ч, а вторую половину пути со скоростью \(v + 32\) км/ч.
Время, которое второй автомобиль затратил на первую половину пути, равно \(\frac{S}{2 \cdot 48}\). Время, которое второй автомобиль затратил на вторую половину пути, равно \(\frac{S}{2 \cdot (v + 32)}\).
Так как оба автомобиля прибыли в В одновременно, то время, затраченное первым автомобилем, равно времени, затраченному вторым автомобилем. Таким образом, можем составить уравнение:
\[\frac{S}{v} = \frac{S}{2 \cdot 48} + \frac{S}{2 \cdot (v + 32)}\]Разделим обе части уравнения на \(S\):
\[\frac{1}{v} = \frac{1}{96} + \frac{1}{2(v + 32)}\]Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{1}{v} = \frac{2(v + 32) + 96}{96 \cdot 2(v + 32)}\] \[\frac{1}{v} = \frac{2v + 64 + 96}{192(v + 32)}\] \[\frac{1}{v} = \frac{2v + 160}{192(v + 32)}\]Умножим крест-накрест:
\[192(v + 32) = v(2v + 160)\] \[192v + 192 \cdot 32 = 2v^2 + 160v\] \[192v + 6144 = 2v^2 + 160v\]Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\[2v^2 + 160v - 192v - 6144 = 0\] \[2v^2 - 32v - 6144 = 0\]Разделим обе части уравнения на 2:
\[v^2 - 16v - 3072 = 0\]Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:
\[D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3072) = 256 + 12288 = 12544\] \[\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112\]Корни уравнения:
\[v_1 = \frac{-(-16) + 112}{2} = \frac{16 + 112}{2} = \frac{128}{2} = 64\] \[v_2 = \frac{-(-16) - 112}{2} = \frac{16 - 112}{2} = \frac{-96}{2} = -48\]Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость первого автомобиля равна 64 км/ч.
Ответ: 64
