Из двух противоположных вершин параллелограмма на его стороны опустили перпендикуляры. Докажите, что их основания образуют прямоугольник.

Доказательство:

1. Пусть ABCD – параллелограмм, AE и CF – перпендикуляры, опущенные из вершин A и C на стороны BC и AD соответственно.
2. Рассмотрим треугольники ABE и CDF. У них ∠ABE = ∠CDF (как противоположные углы параллелограмма), AB = CD (как противоположные стороны параллелограмма), и ∠AEB = ∠CFD = 90°. Следовательно, треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу.
3. Значит, BE = DF.
4. Так как BC = AD (как противоположные стороны параллелограмма), то BC - BE = AD - DF, то есть EC = AF.
5. Рассмотрим четырехугольник AECF. У него EC = AF и AE || CF (так как AE и CF перпендикулярны AD). Следовательно, AECF – параллелограмм.
6. Так как ∠AEC = 90°, то параллелограмм AECF – прямоугольник.