Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141). Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?

Пусть высота коробки равна x. Тогда длина и ширина основания коробки будут равны (a - 2x).

Объём коробки V(x) = x * (a - 2x)^2.

Чтобы найти максимальный объём, найдём производную V'(x) и приравняем её к нулю: V'(x) = (a - 2x)^2 + x * 2(a - 2x) * (-2) = (a - 2x)(a - 2x - 4x) = (a - 2x)(a - 6x).

V'(x) = 0 при x = a/2 или x = a/6. Так как x = a/2 приводит к нулевому основанию, то оптимальная высота коробки равна a/6.