Из листа картона размером 20 × 12 см Борис хочет вырезать уголки так, чтобы затем, согнув картон по пунктирным линиям, получить коробку. Какой должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы площадь стенок (боковой поверхности) полученной коробки была наибольшей?

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна x см. Тогда высота коробки — x, а стороны её дна — 20 − 2x и 12 − 2x. Допустимые значения: 0 < x < 6.

Площадь боковой поверхности равна периметру дна, умноженному на высоту:

\(S(x)=2((20-2x)+(12-2x))x=64x-8x^2\).

Это парабола с ветвями вниз. Её максимум достигается в вершине: \(x=-\frac{64}{2\cdot(-8)}=4\). Значение входит в допустимый интервал.

Ответ: 4 см.