Из Москвы по Рижскому шоссе выехал автобус со скоростью 54 км/ч. Через 2 1/3 ч вслед за ним выехал автомобиль со скоростью в 1 4/9 раза больше скорости автобуса. На каком расстоянии от автобуса будет автомобиль через 1 ч 45 мин после своего выезда? Через сколько времени после своего выезда он догонит автобус? С какой скоростью надо ехать автомобилю, чтобы догнать автобус через 3 1/2 ч?

Решение задачи:

1. Скорость автомобиля:

Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

• Скорость автобуса:
  
  \[ 54 \text{ км/ч} \]
• Время, через которое выехал автомобиль:
  
  \[ 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \text{ ч} \]
• Скорость автомобиля в \( 1 \frac{4}{9} \) раза больше скорости автобуса. Переведем \( 1 \frac{4}{9} \) в неправильную дробь:
  
  \[ 1 \frac{4}{9} = \frac{1 \times 9 + 4}{9} = \frac{13}{9} \]
• Теперь найдем скорость автомобиля:
  
  \[ \text{Скорость автомобиля} = 54 \times \frac{13}{9} = \frac{54}{1} \times \frac{13}{9} = \frac{6 \times 9}{1} \times \frac{13}{9} = 6 \times 13 = 78 \text{ км/ч} \]

2. Расстояние, которое проехал автобус до выезда автомобиля:

• Автобус ехал \( \frac{7}{3} \) часа до выезда автомобиля.
• Расстояние = Скорость \( \times \) Время
  
  \[ \text{Расстояние автобуса} = 54 \times \frac{7}{3} = \frac{54}{1} \times \frac{7}{3} = \frac{18 \times 3}{1} \times \frac{7}{3} = 18 \times 7 = 126 \text{ км} \]

3. Расстояние между автобусом и автомобилем через 1 ч 45 мин после выезда автомобиля:

• Переведем 1 ч 45 мин в часы:
  
  \[ 1 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 1 + \frac{45}{60} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \text{ ч} \]
• За это время автомобиль проехал:
  
  \[ \text{Расстояние автомобиля} = 78 \times \frac{7}{4} = \frac{78}{1} \times \frac{7}{4} = \frac{39 \times 2}{1} \times \frac{7}{2 \times 2} = \frac{39 \times 7}{2} = \frac{273}{2} = 136.5 \text{ км} \]
• За это время автобус проехал (дополнительно к уже проеханному):
  
  \[ \text{Дополнительное расстояние автобуса} = 54 \times \frac{7}{4} = \frac{54}{1} \times \frac{7}{4} = \frac{27 \times 2}{1} \times \frac{7}{2 \times 2} = \frac{27 \times 7}{2} = \frac{189}{2} = 94.5 \text{ км} \]
• Общее расстояние, которое проехал автобус:
  
  \[ \text{Общее расстояние автобуса} = 126 + 94.5 = 220.5 \text{ км} \]
• Расстояние между ними:
  
  \[ \text{Расстояние между} = \text{Общее расстояние автобуса} - \text{Расстояние автомобиля} = 220.5 - 136.5 = 84 \text{ км} \]

4. Время, через которое автомобиль догонит автобус:

• Найдем скорость сближения:
  
  \[ \text{Скорость сближения} = \text{Скорость автомобиля} - \text{Скорость автобуса} = 78 - 54 = 24 \text{ км/ч} \]
• Время догонит = Начальное расстояние / Скорость сближения
  
  \[ \text{Время догонит} = \frac{126 \text{ км}}{24 \text{ км/ч}} = \frac{126}{24} = \frac{21}{4} = 5.25 \text{ ч} \]

5. Скорость автомобиля, чтобы догнать автобус через 3 1/2 ч:

• Переведем 3 1/2 ч в неправильную дробь:
  
  \[ 3 \frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} \text{ ч} \]
• Пусть \( v \) — искомая скорость автомобиля.
• Расстояние, которое проедет автомобиль за \( \frac{7}{2} \) ч:
  
  \[ \text{Расстояние автомобиля} = v \times \frac{7}{2} \]
• Расстояние, которое проедет автобус за \( \frac{7}{2} \) ч (дополнительно к уже проеханному):
  
  \[ \text{Дополнительное расстояние автобуса} = 54 \times \frac{7}{2} = 27 \times 7 = 189 \text{ км} \]
• Общее расстояние, которое проедет автобус:
  
  \[ \text{Общее расстояние автобуса} = 126 + 189 = 315 \text{ км} \]
• Чтобы автомобиль догнал автобус, их пройденные расстояния должны быть равны:
  
  \[ v \times \frac{7}{2} = 315 \]
• Найдем \( v \):
  
  \[ v = 315 \div \frac{7}{2} = 315 \times \frac{2}{7} = \frac{315}{7} \times 2 = 45 \times 2 = 90 \text{ км/ч} \]

Ответ:

• Через 1 ч 45 мин автомобиль будет на расстоянии 84 км от автобуса.
• Автомобиль догонит автобус через 5.25 ч (или 5 ч 15 мин) после своего выезда.
• Чтобы догнать автобус через 3 1/2 ч, автомобиль должен ехать со скоростью 90 км/ч.