Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100. Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдётся квадрат какого-нибудь целого числа?

Разобьём числа от 1 до 99, кроме 50, на 49 пар: \((1,99), (2,98), \ldots, (49,51)\). В каждой паре можно выбрать не более одного числа, иначе сумма выбранных чисел равнялась бы 100. Число 100 также нельзя выбрать вместе с другим числом из диапазона от 1 до 100, так как для этого понадобился бы 0.

Среди пар есть восемь, содержащих квадрат целого числа: пары с квадратами 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и 81. Поэтому из пар без квадратов можно выбрать не более 41 числа. Дополнительно, не нарушая условия, можно выбрать числа 50 и 100, но 100 само является квадратом. Значит, если квадратов среди выбранных чисел нет, то выбрать можно не более \(41+1=42\) чисел: из 41 пары без квадратов и число 50.

Следовательно, среди любых 50 выбранных чисел обязательно есть квадрат целого числа.

Ответ: Да, верно.