138 Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен ф. а) Найдите наклон- ную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр ра- вен д. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если на-

Решение:

а) Дано: перпендикуляр = d, угол между перпендикуляром и наклонной = φ.

Найти: наклонную и проекцию наклонной.

Пусть длина перпендикуляра равна d, длина наклонной равна l, а длина проекции наклонной равна x.

Тогда:

$$sin(φ) = \frac{x}{l}$$

$$cos(φ) = \frac{d}{l}$$

Выразим l из второго уравнения:

$$l = \frac{d}{cos(φ)}$$

Теперь найдем проекцию x:

$$x = l \cdot sin(φ) = \frac{d}{cos(φ)} \cdot sin(φ) = d \cdot tg(φ)$$

Ответ: наклонная = d/cos(φ), проекция = d*tg(φ).

б) Дано: угол между перпендикуляром и наклонной = φ, наклонная = l.

Найти: перпендикуляр и проекцию наклонной.

Пусть длина перпендикуляра равна d, длина наклонной равна l, а длина проекции наклонной равна x.

Тогда:

$$cos(φ) = \frac{d}{l}$$

$$sin(φ) = \frac{x}{l}$$

Выразим d из первого уравнения:

$$d = l \cdot cos(φ)$$

Теперь найдем проекцию x:

$$x = l \cdot sin(φ)$$

Ответ: перпендикуляр = l*cos(φ), проекция = l*sin(φ).