Решение задачи №139

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить определение наклонной к плоскости, проекции наклонной и теорему о соотношении между наклонными и их проекциями.

а) Если наклонные равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки A проведены две наклонные AB и AC к плоскости α, причем AB = AC. Пусть B' и C' — проекции точек B и C на плоскость α соответственно. Таким образом, AB' и AC' — проекции наклонных AB и AC на плоскость α.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABB' и ACC'. У них:

• AB = AC (по условию)
• AA' — общий катет (AA' — перпендикуляр к плоскости α)

Следовательно, треугольники ABB' и ACC' равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: BB' = CC'.

Таким образом, проекции AB' и AC' равны, то есть AB' = AC'.

б) Если проекции наклонных равны, то равны и наклонные.

Теперь предположим, что AB' = AC'. Рассмотрим те же прямоугольные треугольники ABB' и ACC'. У них:

• AA' — общий катет
• AB' = AC' (по условию)

Следовательно, треугольники ABB' и ACC' равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: AB = AC.

Таким образом, наклонные AB и AC равны.

в) Если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть AB > AC. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABB' и ACC' снова.

По теореме Пифагора:

• AB² = AA'² + (AB')²
• AC² = AA'² + (AC')²

Вычтем второе уравнение из первого:

AB² - AC² = (AB')² - (AC')²

Так как AB > AC, то AB² > AC², следовательно, AB² - AC² > 0. Значит, (AB')² - (AC')² > 0, что означает (AB')² > (AC')².

Поскольку AB' и AC' — длины, они положительны, поэтому из (AB')² > (AC')² следует, что AB' > AC'.

Таким образом, большая наклонная AB имеет большую проекцию AB'.