Из однородной металлической проволоки сделано кольцо. Напряжение на полюсах источника тока постоянно. При каком подключении 1–4 контакта К потребляемая мощность цепи будет минимальной?

Решение:

Мощность, потребляемая цепью, вычисляется по формуле \( P = \frac{U^2}{R} \), где \( U \) — напряжение источника, \( R \) — сопротивление цепи.

Для минимизации мощности \( P \) необходимо максимизировать сопротивление \( R \).

Сопротивление кольца из однородной проволоки пропорционально длине участка, по которому протекает ток. Обозначим сопротивление всего кольца как \( R_{кольца} \).

• Если ток подключается к контактам 1 и 3 (через контакт К), то ток проходит через половину кольца. Сопротивление этого участка равно \( \frac{R_{кольца}}{2} \).
• Если ток подключается к контактам 1 и 2, то ток проходит через четверть кольца. Сопротивление этого участка равно \( \frac{R_{кольца}}{4} \).
• Аналогично, если ток подключается к контактам 1 и 4, сопротивление равно \( \frac{R_{кольца}}{4} \).
• Если ток подключается к контактам 2 и 4, то ток проходит через половину кольца. Сопротивление равно \( \frac{R_{кольца}}{2} \).
• Если ток подключается к контактам 2 и 3, то ток проходит через четверть кольца. Сопротивление равно \( \frac{R_{кольца}}{4} \).
• Если ток подключается к контактам 3 и 4, то ток проходит через четверть кольца. Сопротивление равно \( \frac{R_{кольца}}{4} \).

Максимальное сопротивление достигается, когда ток проходит через наибольшую длину дуги. В данном случае это подключение контактов 1 и 3 (или 2 и 4), когда ток проходит через полукольцо.

Однако, в задаче спрашивается о подключении 1-4 контакта К. Это означает, что один полюс источника подключается к контакту 1, а другой — к контакту К, который находится на контакте 3. Следовательно, ток проходит через полукольцо (участок 1-3).

Чтобы потребляемая мощность была минимальной, сопротивление должно быть максимальным. Максимальное сопротивление в данном случае достигается при подключении к точкам, которые делят кольцо пополам (например, 1 и 3). Если контакт К является частью точки 3, то подключение 1-К (1-3) дает сопротивление \( \frac{R_{кольца}}{2} \).

Однако, если предположить, что вопрос подразумевает подключение между любой парой из {1, 2, 3, 4} и точкой K (которая является точкой 3), то максимальное сопротивление будет при подключении 1-3 или 2-3 (если считать, что 2 и 4 — это точки, которые делят кольцо пополам относительно 1 и 3), или 1-3, 2-3, 4-3.

Если считать, что 1, 2, 3, 4 — это точки на кольце, и К — это внешняя точка подключения, соединённая с точкой 3, то мы подключаем источник между 1 и К (т.е. 1 и 3) или между 2 и К (т.е. 2 и 3) или между 4 и К (т.е. 4 и 3). Также возможно подключение между 1 и 2, 1 и 4, 2 и 4.

Для минимизации потребляемой мощности нужно максимальное сопротивление. Сопротивление между двумя точками на кольце зависит от длины дуги между ними. Максимальная длина дуги будет между диаметрально противоположными точками. Если принять, что 1 и 3 — диаметрально противоположны, и 2 и 4 — диаметрально противоположны, то подключение 1–3 даст сопротивление \( \frac{R_{кольца}}{2} \). Подключение 1–2 или 1–4 даст сопротивление \( \frac{R_{кольца}}{4} \).

Если мы подключаем к контакту К (который находится в точке 3), то максимальное сопротивление будет при подключении к точке, диаметрально противоположной точке 3. Если точки 1, 2, 3, 4 расположены равномерно, то точки 1 и 3, а также 2 и 4 являются диаметрально противоположными. Тогда подключение к 3 (К) и 1 даст \( \frac{R_{кольца}}{2} \).

Если K — это просто точка подключения, которая может быть любой из 1, 2, 3, 4, и мы ищем подключения 1-4 контакта K, это подразумевает выбор между точками {1, 2, 3, 4} для подключения одного полюса, и точкой {1, 2, 3, 4} для подключения другого полюса, с дополнительным условием