Деепричастие — это особая форма глагола, которая обозначает добавочное действие при основном действии, выраженном глаголом-сказуемым, и отвечает на вопросы «что делая?» или «что сделав?».
В предложении «(5)Оставшись один, ты раскрыл её дома, и она навсегда запала в твою память» добавочное действие выражено словом «оставшись». Оно отвечает на вопрос «что сделав?».
Ответ: оставшись