2. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) велосипедист проехал по дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он всё же на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из пункта \(A\) в пункт \(B\). С какой скоростью ехал велосипедист из пункта \(A\) в пункт \(B\)?

Решение задачи:

Пусть \(v\) - скорость велосипедиста из пункта \(A\) в пункт \(B\) (в км/ч), тогда: Расстояние из \(A\) в \(B\) равно 27 км. Расстояние из \(B\) в \(A\) равно \(27 - 7 = 20\) км. Скорость на обратном пути равна \(v - 3\) км/ч. Время, затраченное на путь из \(A\) в \(B\), равно \(\frac{27}{v}\) часов. Время, затраченное на обратный путь, равно \(\frac{20}{v-3}\) часов. Известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 10 минут меньше, чем на путь из \(A\) в \(B\), то есть: \(\frac{27}{v} - \frac{20}{v-3} = \frac{10}{60}\) \(\frac{27}{v} - \frac{20}{v-3} = \frac{1}{6}\) Умножаем обе части уравнения на \(6v(v-3)\): \(6 \cdot 27(v-3) - 6 \cdot 20v = v(v-3)\) \(162(v-3) - 120v = v^2 - 3v\) \(162v - 486 - 120v = v^2 - 3v\) \(42v - 486 = v^2 - 3v\) \(v^2 - 45v + 486 = 0\) Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81\) Корни: \(v_1 = \frac{45 + \sqrt{81}}{2} = \frac{45 + 9}{2} = \frac{54}{2} = 27\) \(v_2 = \frac{45 - \sqrt{81}}{2} = \frac{45 - 9}{2} = \frac{36}{2} = 18\) Если \(v = 27\), то время из \(A\) в \(B\) равно \(\frac{27}{27} = 1\) час. Время из \(B\) в \(A\) равно \(\frac{20}{27-3} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}\) часа, что равно 50 минутам. Разница во времени составляет 10 минут, что соответствует условию. Если \(v = 18\), то время из \(A\) в \(B\) равно \(\frac{27}{18} = 1.5\) часа. Время из \(B\) в \(A\) равно \(\frac{20}{18-3} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}\) часа, что равно 1 часу 20 минутам. Разница во времени составляет 10 минут, что соответствует условию. Оба значения скорости подходят.

Ответ: 18 км/ч или 27 км/ч