Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 180 км, в 7 утра выехал велосипедист, а через некоторое время из пункта А в том же направлении выехал автомобиль. Доехав до пункта Б, водитель автомобиля сделал остановку на 3 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние от пункта А.

Пошаговое решение:

1) Найдите, на каком расстоянии от пункта А автомобиль догнал велосипедиста.

График 1 (велосипедист) проходит через точки (0, 0) и (15, 105).

Уравнение прямой для велосипедиста (график 1):

Скорость велосипедиста: \( v_1 = \frac{105 ext{ км}}{15 ext{ ч}} = 7 ext{ км/ч} \).

Уравнение движения велосипедиста: \( S_1(t) = 7t \).

График 2 (автомобиль) проходит через точки (7, 0) и (10, 75).

Уравнение прямой для автомобиля (путь из А в Б):

Скорость автомобиля: \( v_2 = \frac{75 ext{ км} - 0 ext{ км}}{10 ext{ ч} - 7 ext{ ч}} = \frac{75}{3} = 25 ext{ км/ч} \).

Уравнение движения автомобиля: \( S_2(t) = 25(t - 7) \).

Автомобиль догнал велосипедиста, когда их расстояния от пункта А были равны:

\( S_1(t) = S_2(t) \)

\( 7t = 25(t - 7) \)

\( 7t = 25t - 175 \)

\( 175 = 25t - 7t \)

\( 175 = 18t \)

\( t = \frac{175}{18} \text{ часа} \approx 9.72 ext{ часа} \).

Теперь найдем расстояние, на котором автомобиль догнал велосипедиста, подставив время в уравнение движения велосипедиста:

\( S_1(\frac{175}{18}) = 7 imes \frac{175}{18} = \frac{1225}{18} ext{ км} \approx 68.06 ext{ км} \).

Ответ: Приблизительно 68.06 км

2) На том же рисунке достройте график движения автомобиля до момента возвращения в пункт А.

Достройка графика:

1. Автомобиль прибыл в пункт Б (180 км) в 10 часов.
2. Затем он сделал остановку на 3 часа. Значит, он выехал обратно из пункта Б в \( 10 + 3 = 13 \) часов.
3. Скорость автомобиля на обратном пути та же, что и на пути из А в Б, то есть 25 км/ч.
4. Расстояние от пункта А до пункта Б равно 180 км.
5. Время, которое потребуется автомобилю, чтобы вернуться в пункт А из пункта Б, равно: \( t_{обратно} = \frac{ ext{Расстояние}}{ ext{Скорость}} = \frac{180 ext{ км}}{25 ext{ км/ч}} = 7.2 ext{ часа} \).
6. Автомобиль вернется в пункт А в \( 13 + 7.2 = 20.2 \) часа.
7. На графике это будет прямая линия, начинающаяся от точки (13, 180) и заканчивающаяся в точке (20.2, 0).

График построен.