Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 200 км, в 10 часов утра выехал велосипедист, а через некоторое время из пункта Б навстречу ему выехал автомобиль. Доехав до пункта А, водитель автомобиля сделал остановку на 1 час, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из Б в А. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние до пункта А.

Решение:

1. Определим скорость велосипедиста (график 1):

Велосипедист проехал 200 км за 20 часов (с 0 до 20 часа). Его скорость:

\[ v_{велосипедиста} = \frac{S}{t} = \frac{200 \text{ км}}{20 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч} \]

2. Определим время выезда автомобиля:

Из графика видно, что автомобиль выехал из пункта Б (расстояние до А = 200 км) в 10:00 + 4 часа = 14:00. Однако, в условии задачи сказано, что велосипедист выехал в 10:00, а автомобиль выехал через некоторое время. График 1 начинается в 0 часов, что соответствует 10:00. Автомобиль (график 2) начинает движение в точке (4, 200), что означает, что он выехал через 4 часа после велосипедиста, то есть в 14:00.

3. Определим скорость автомобиля:

Автомобиль проехал путь из Б в А (200 км) за 4 часа (с 14:00 до 18:00). Его скорость:

\[ v_{автомобиля} = \frac{S}{t} = \frac{200 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч} \]

4. Определим время и место встречи:

Автомобиль выехал в 14:00. Велосипедист к этому времени проехал:

\[ S_{велосипедиста} = v_{велосипедиста} \cdot t = 10 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 40 \text{ км} \]

Расстояние между ними в момент выезда автомобиля составляло: 200 км - 40 км = 160 км.

Время, через которое они встретятся, равно:

\[ t_{встречи} = \frac{\text{Оставшееся расстояние}}{v_{велосипедиста} + v_{автомобиля}} = \frac{160 \text{ км}}{10 \text{ км/ч} + 50 \text{ км/ч}} = \frac{160 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{8}{3} \text{ часа} \]

\[ \frac{8}{3} \text{ часа} \approx 2.67 \text{ часа} \]

Время встречи: 14:00 + 2 часа 40 минут = 16:40.

Найдем расстояние от пункта А, на котором они встретились:

\[ S_{встречи} = v_{велосипедиста} \cdot (4 \text{ ч} + \frac{8}{3} \text{ ч}) = 10 \text{ км/ч} \cdot (4 + \frac{8}{3}) \text{ ч} = 10 \text{ км/ч} \cdot \frac{20}{3} \text{ ч} = \frac{200}{3} \text{ км} \approx 66.67 \text{ км} \]

5. Определим расстояние от пункта Б, на котором они встретились:

Расстояние от пункта Б = 200 км - Расстояние от пункта А = 200 км - \( \frac{200}{3} \text{ км} \) = \( \frac{600 - 200}{3} \text{ км} \) = \( \frac{400}{3} \text{ км} \approx 133.33 \text{ км} \).

Проверка по графику:

В точке пересечения графиков (примерно 4 + 2.67 = 6.67 часа от начала отсчета для велосипедиста) расстояние до А составляет примерно 66-67 км. Автомобиль проехал 200 км и вернулся на 200 - (200 - 50 * (8/3)) = 200 - (200 - 400/3) = 200 - 200/3 = 400/3 км от А. Так как на графике автомобиля вертикальная ось - это расстояние от А, то в точке встречи расстояние должно быть одинаковым.

Посмотрим на график:

График 2 (автомобиль) в точке 4 часа (относительно начала отсчета велосипедиста, то есть 14:00) находится на отметке 200 км. В точке 10 часов (10 часов от начала отсчета велосипедиста, то есть 20:00) автомобиль находится на отметке 100 км. Это означает, что он проехал 100 км обратно за 6 часов. Скорость возвращения: 100 км / 6 ч = 16.67 км/ч. Это противоречит условию, что скорость та же.

Переосмыслим график:

Вертикальная ось - расстояние до пункта А.

График 1 (велосипедист) стартует из А (0 км) в 10:00 (0 часов на графике). В 20:00 (10 часов на графике) он в пункте Б (200 км).

Скорость велосипедиста: \( v_{вел} = \frac{200 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч} \).

График 2 (автомобиль) стартует из Б (200 км) в 14:00 (4 часа на графике) и прибывает в А (0 км) в 18:00 (8 часов на графике). Он останавливался с 18:00 до 19:00 (8-9 часов на графике).

Время движения автомобиля из Б в А: 4 часа. Скорость автомобиля: \( v_{авто} = \frac{200 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч} \).

Время встречи:

Пусть t - время в часах с 10:00.

Положение велосипедиста: \( S_{вел}(t) = 20t \) (для \( t ∈ [0, 10] \)).

Положение автомобиля: Автомобиль выехал в 14:00, т.е. в \( t=4 \).

Для \( t ∈ [4, 8] \) (путь из Б в А):

\( S_{авто}(t) = 200 - v_{авто} \cdot (t - 4) = 200 - 50(t - 4) \).

Встреча произошла, когда \( S_{вел}(t) = S_{авто}(t) \):

\[ 20t = 200 - 50(t - 4) \]

\[ 20t = 200 - 50t + 200 \]

\[ 70t = 400 \]

\[ t = \frac{400}{70} = \frac{40}{7} \text{ часа} \approx 5.71 \text{ часа} \]

Это время больше 4 часов, но меньше 8 часов, значит, встреча произошла во время движения автомобиля из Б в А.

Время встречи: \( 10:00 + \frac{40}{7} \text{ часа} \approx 10:00 + 5 \text{ ч } 43 \text{ мин} = 15:43 \).

Место встречи (расстояние от А):

\[ S_{встречи} = 20t = 20 \cdot \frac{40}{7} = \frac{800}{7} \text{ км} \approx 114.29 \text{ км} \]

Ответ: На расстоянии 800/7 км от пункта А.