Решение задачи

Пусть:

• S - весь путь от пункта А до пункта Б (в км).
• $$v_1$$ - скорость первого автомобиля (в км/ч).
• $$t_1$$ - время, которое первый автомобиль затратил на весь путь (в часах).

Тогда:

• $$t_1 = \frac{S}{v_1}$$

Для второго автомобиля:

• Первую половину пути он проехал со скоростью 24 км/ч, следовательно, время, затраченное на первую половину пути, равно $$\frac{S}{2} \div 24 = \frac{S}{48}$$
• Вторую половину пути он проехал со скоростью $$(v_1 + 16)$$ км/ч, следовательно, время, затраченное на вторую половину пути, равно $$\frac{S}{2} \div (v_1 + 16) = \frac{S}{2(v_1 + 16)}$$

Общее время, затраченное вторым автомобилем, равно сумме времен на первую и вторую половины пути: $$\frac{S}{48} + \frac{S}{2(v_1 + 16)}$$

Так как оба автомобиля прибыли в пункт Б одновременно, то время, затраченное первым автомобилем, равно времени, затраченному вторым автомобилем:

$$\frac{S}{v_1} = \frac{S}{48} + \frac{S}{2(v_1 + 16)}$$

Разделим обе части уравнения на S (S ≠ 0):

$$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{48} + \frac{1}{2(v_1 + 16)}$$

Умножим обе части уравнения на $$48v_1(v_1 + 16)$$, чтобы избавиться от дробей:

$$48(v_1 + 16) = v_1(v_1 + 16) + 24v_1$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$48v_1 + 768 = v_1^2 + 16v_1 + 24v_1$$ $$v_1^2 - 8v_1 - 768 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$v_1$$:

Дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-768) = 64 + 3072 = 3136$$ Корень из дискриминанта: $$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$$ Корни уравнения: $$v_{1,1} = \frac{-(-8) + 56}{2 \cdot 1} = \frac{64}{2} = 32$$ $$v_{1,2} = \frac{-(-8) - 56}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то подходит только положительное значение: $$v_1 = 32$$ км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля равна 32 км/ч.