Из пункта А в пункт Б выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч. Одновременно из пункта Б в пункт А выехал второй автомобиль со скоростью 80 км/ч. Когда первый автомобиль проехал 20 км, он увеличил скорость до 90 км/ч и двигался так до конца пути. Второй автомобиль двигался равномерно всю дорогу. Известно, что автомобили встретились ровно на середине пути между А и Б. Найдите расстояние между пунктами А и Б. Ответ выразите в километрах, округлите до целого числа. Через какое время после старта произошла встреча? Ответ выразите в часах и минутах, округлите до целых чисел. Каким было расстояние между автомобилями за 30 минут до встречи? Ответ выразите в километрах, округлите до целого числа. На каком расстоянии от пункта А находился первый автомобиль в момент, когда второй проехал 40 км? Ответ выразите в километрах, округлите до целого числа.

Пусть расстояние между пунктами равно D км. Так как встреча произошла на середине пути, каждый автомобиль к встрече проехал D/2 км.

Первый автомобиль ехал первые 20 км со скоростью 60 км/ч, то есть 20/60 = 1/3 ч. Затем он проехал оставшиеся до середины D/2 − 20 км со скоростью 90 км/ч. Время движения второго автомобиля до встречи — D/(2 · 80) = D/160 ч.

Приравняем время движения автомобилей:

\(\frac{1}{3}+\frac{D/2-20}{90}=\frac{D}{160}\).

Упрощаем: \(\frac{1}{3}-\frac{2}{9}+\frac{D}{180}=\frac{D}{160}\), поэтому \(\frac{1}{9}=\frac{D}{1440}\), откуда \(D=160\) км.

Время до встречи: \(160/160=1\) ч, то есть 1 час 0 минут.

За 30 минут до встречи прошло 0,5 ч. Первый автомобиль за это время проехал 20 км со скоростью 60 км/ч, а затем ещё \(0,5-1/3=1/6\) ч со скоростью 90 км/ч: \(20+90·1/6=35\) км. Второй проехал \(80·0,5=40\) км. Между ними оставалось \(160-35-40=85\) км.

Когда второй автомобиль проехал 40 км, прошло \(40/80=0,5\) ч. За это время первый проехал \(20+90·(0,5-1/3)=35\) км от пункта А.

Ответ: расстояние между пунктами — 160 км; встреча произошла через 1 час 0 минут; за 30 минут до встречи автомобили разделяли 85 км; когда второй проехал 40 км, первый находился в 35 км от пункта А.