171. Из пункта А в пункт В автомобиль ехал по шоссейной дороге длиной 21 км, а из пункта В в пункт А возвра- щался по грунтовой дороге длиной 20 км, затратив на обратный путь на 6 мин больше, чем на путь из пунк- та А в пункт В. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если по шоссе его скорость на 20 км/ч больше, чем по грунтовой дороге?

Привет! Давай вместе решим эту интересную задачу.

Решение:

Пусть x (км/ч) – скорость автомобиля по грунтовой дороге. Тогда скорость по шоссе будет x + 20 (км/ч). Время, затраченное на путь из пункта А в пункт В (по шоссе), равно \(\frac{21}{x+20}\) часа, а время на обратный путь (по грунтовой дороге) – \(\frac{20}{x}\) часа. Известно, что на обратный путь затрачено на 6 минут больше, чем на путь из А в В. Переведем 6 минут в часы: 6 минут = \(\frac{6}{60} = \frac{1}{10}\) часа.

Составим уравнение, учитывая, что время на обратный путь больше:

\[\frac{20}{x} - \frac{21}{x+20} = \frac{1}{10}\]

Чтобы решить это уравнение, избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на 10x(x+20):

\[10(x+20) \cdot \frac{20}{x} - 10x(x+20) \cdot \frac{21}{x+20} = 10x(x+20) \cdot \frac{1}{10}\] \[200(x+20) - 210x = x(x+20)\] \[200x + 4000 - 210x = x^2 + 20x\] \[-10x + 4000 = x^2 + 20x\]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 + 30x - 4000 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 30, c = -4000:

\[D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4000) = 900 + 16000 = 16900\] \[\sqrt{D} = \sqrt{16900} = 130\]

Найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 + 130}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 - 130}{2 \cdot 1} = \frac{-160}{2} = -80\]

Так как скорость не может быть отрицательной, берем только положительное значение x = 50.

Таким образом, скорость автомобиля по грунтовой дороге равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч

Молодец! Ты отлично справился с задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!