Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую по- ловину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую поло- вину пути проехал со скоростью, большей скоро- сти первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 45 км/ч

Решение:

Пусть s — весь путь от А до В, а v — скорость первого автомобиля.

• Тогда время, которое первый автомобиль затратил на весь путь: \[ t_1 = \frac{s}{v} \]
• Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 30 км/ч, а вторую — со скоростью (v + 9) км/ч.
• Время, которое второй автомобиль затратил на весь путь: \[ t_2 = \frac{s/2}{30} + \frac{s/2}{v+9} \]
• Так как оба автомобиля прибыли в пункт В одновременно, то t1 = t2: \[ \frac{s}{v} = \frac{s/2}{30} + \frac{s/2}{v+9} \]

Упростим уравнение, разделив обе части на s (s ≠ 0):

\[ \frac{1}{v} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(v+9)} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{v} = \frac{v + 9 + 30}{60(v+9)} \] \[ \frac{1}{v} = \frac{v + 39}{60(v+9)} \]

Перекрестно перемножим:

\[ 60(v+9) = v(v+39) \] \[ 60v + 540 = v^2 + 39v \] \[ v^2 - 21v - 540 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант: \[ D = (-21)^2 - 4(1)(-540) = 441 + 2160 = 2601 \]

\[ v_1 = \frac{21 + \sqrt{2601}}{2} = \frac{21 + 51}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] \[ v_2 = \frac{21 - 51}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, то v = 45 км/ч.

Тогда скорость первого автомобиля 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч