Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Пусть скорость течения реки равна $$v$$, тогда скорость катера в стоячей воде равна $$4v$$. Обозначим расстояние между пунктами А и В как $$S$$.

Пусть до встречи с плотом катер проплыл расстояние $$S_1$$. Время, которое катер плыл до встречи с плотом, равно времени, которое плот плыл до встречи с катером. Обозначим это время как $$t_1$$. Тогда:

$$t_1 = \frac{S_1}{4v+v} = \frac{S_1}{5v}$$

Плот за это же время проплыл расстояние $$S_\text{пл1} = vt_1 = v\frac{S_1}{5v} = \frac{S_1}{5}$$

После встречи катер разворачивается и плывет обратно в пункт В. Расстояние, которое нужно проплыть катеру, равно $$S_1$$. Время, которое катер плывет обратно в пункт В, равно:

$$t_2 = \frac{S_1}{4v-v} = \frac{S_1}{3v}$$

За это время плот проплывет расстояние $$S_\text{пл2} = vt_2 = v\frac{S_1}{3v} = \frac{S_1}{3}$$

Общее расстояние, которое проплывет плот, равно:

$$S_\text{пл} = S_\text{пл1} + S_\text{пл2} = \frac{S_1}{5} + \frac{S_1}{3} = \frac{3S_1+5S_1}{15} = \frac{8S_1}{15}$$

Теперь найдем связь между $$S_1$$ и $$S$$. До встречи катер и плот вместе проплыли расстояние $$S$$, то есть $$S_1 + S_\text{пл1} = S$$:

$$S_1 + \frac{S_1}{5} = S$$

$$\frac{6S_1}{5} = S$$

$$S_1 = \frac{5S}{6}$$

Подставим это значение в выражение для общего расстояния, которое проплывет плот:

$$S_\text{пл} = \frac{8}{15}S_1 = \frac{8}{15} \cdot \frac{5S}{6} = \frac{40S}{90} = \frac{4S}{9}$$

Таким образом, плот проплывет $$\frac{4}{9}$$ часть пути от А до В.

Ответ: $$\frac{4}{9}$$