Из пункта А в пункт В, расстояние между которым равно 47 км, выплыл катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Дано:

• Расстояние (S) = 47 км
• Скорость течения реки (v_ реки) = 4 км/ч
• Время обратного пути на 2 часа меньше времени пути туда.

Найти:

• Собственную скорость катера (v_ катера)

Решение:

1. Обозначим:
   • Пусть v_к — собственная скорость катера (км/ч).
   • Скорость катера по течению: v_по теч. = v_к + v_ реки = v_к + 4 (км/ч).
   • Скорость катера против течения: v_против теч. = v_к - v_ реки = v_к - 4 (км/ч).
2. Время в пути:
   • Время пути по течению (t_1): \(t_1 = \frac{S}{v_{\text{по теч.}}} = \frac{47}{v_к + 4}\) (ч).
   • Время пути против течения (t_2): \(t_2 = \frac{S}{v_{\text{против теч.}}} = \frac{47}{v_к - 4}\) (ч).
   • По условию, на обратный путь (против течения) затрачено на 2 часа меньше: \(t_2 = t_1 - 2\)
3. Уравнение:
   • Подставим выражения для времени: \(\frac{47}{v_к - 4} = \frac{47}{v_к + 4} - 2\)
   • Приведем к общему знаменателю: \(\frac{47}{v_к - 4} + 2 = \frac{47}{v_к + 4}\)
   • \(\frac{47 + 2(v_к - 4)}{v_к - 4} = \frac{47}{v_к + 4}\)
   • \(\frac{47 + 2v_к - 8}{v_к - 4} = \frac{47}{v_к + 4}\)
   • \(\frac{39 + 2v_к}{v_к - 4} = \frac{47}{v_к + 4}\)
   • Перекрестное умножение: \((39 + 2v_к)(v_к + 4) = 47(v_к - 4)\)
   • \(39v_к + 156 + 2v_к^2 + 8v_к = 47v_к - 188\)
   • \(2v_к^2 + 47v_к + 156 = 47v_к - 188\)
   • \(2v_к^2 + 156 + 188 = 0\)
   • \(2v_к^2 + 344 = 0\)
   • Важное замечание: В данном этапе мы получили уравнение \(2v_к^2 = -344\), которое не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Это указывает на возможную ошибку в условии задачи или в моем понимании. Однако, если продолжить решение, предположив, что ошибка в записи уравнения.
4. Переформулируем уравнение, исходя из более вероятной трактовки условия:
   • «Затратив на обратный путь на 2 часа меньше» означает, что время пути туда (по течению) было на 2 часа больше, чем время пути обратно (против течения).
   • То есть, \(t_1 = t_2 + 2\)
   • \(\frac{47}{v_к + 4} = \frac{47}{v_к - 4} + 2\)
   • \(\frac{47}{v_к + 4} - \frac{47}{v_к - 4} = 2\)
   • Приведем к общему знаменателю: \(\frac{47(v_к - 4) - 47(v_к + 4)}{(v_к + 4)(v_к - 4)} = 2\)
   • \(\frac{47v_к - 188 - 47v_к - 188}{v_к^2 - 16} = 2\)
   • \(\frac{-376}{v_к^2 - 16} = 2\)
   • \(-376 = 2(v_к^2 - 16)\)
   • \(-376 = 2v_к^2 - 32\)
   • \(2v_к^2 = -376 + 32\)
   • \(2v_к^2 = -344\)
   • Снова получили отрицательное значение. Давайте проверим условие задачи еще раз.
   • Возможно, имелось в виду: «Затратив на путь туда (по течению) на 2 часа больше, чем на обратный путь (против течения)». Это соответствует \(t_1 = t_2 + 2\), что уже было проверено.
   • Возможно, имелось в виду: «Затратив на путь обратно (против течения) на 2 часа больше, чем на путь туда (по течению)». Это соответствовало бы \(t_2 = t_1 + 2\).
   • \(\frac{47}{v_к - 4} = \frac{47}{v_к + 4} + 2\)
   • \(\frac{47}{v_к - 4} - \frac{47}{v_к + 4} = 2\)
   • \(\frac{47(v_к + 4) - 47(v_к - 4)}{(v_к - 4)(v_к + 4)} = 2\)
   • \(\frac{47v_к + 188 - 47v_к + 188}{v_к^2 - 16} = 2\)
   • \(\frac{376}{v_к^2 - 16} = 2\)
   • \(376 = 2(v_к^2 - 16)\)
   • \(376 = 2v_к^2 - 32\)
   • \(2v_к^2 = 376 + 32\)
   • \(2v_к^2 = 408\)
   • \(v_к^2 = \frac{408}{2}\)
   • \(v_к^2 = 204\)
   • \(v_к = \sqrt{204} = \sqrt{4 \times 51} = 2\sqrt{51}\)
   • \(v_к \approx 2 \times 7.14 \approx 14.28\) км/ч.
5. Проверка:
   • Если \(v_к = 2\sqrt{51}\) км/ч, то:
   • \(v_{\text{по теч.}} = 2\sqrt{51} + 4\)
   • \(v_{\text{против теч.}} = 2\sqrt{51} - 4\)
   • \(t_1 = \frac{47}{2\sqrt{51} + 4}\)
   • \(t_2 = \frac{47}{2\sqrt{51} - 4}\)
   • \(t_2 - t_1 = \frac{47}{2\sqrt{51} - 4} - \frac{47}{2\sqrt{51} + 4} = \frac{47(2\sqrt{51} + 4) - 47(2\sqrt{51} - 4)}{(2\sqrt{51} - 4)(2\sqrt{51} + 4)} = \frac{94\sqrt{51} + 188 - 94\sqrt{51} + 188}{(2\sqrt{51})^2 - 4^2} = \frac{376}{4 imes 51 - 16} = \frac{376}{204 - 16} = \frac{376}{188} = 2\)
   • Разница во времени равна 2 часа.

Ответ: $$2 \sqrt{51}$$ км/ч