Из пункта А, в пункт В расстояние между которым равно 77 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Дано:

• Расстояние между пунктами А и В: S = 77 км
• Скорость течения реки: v_тек = 4 км/ч
• Разница во времени: t_обр - t_прям = 2 часа

Найти:

• Собственная скорость катера: v_собств = ? км/ч

Решение:

1. Обозначим:
   Пусть x — собственная скорость катера (км/ч).
2. Скорость по течению:
   Когда катер плывет по течению (из А в В, если течение направлено от А к В), его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения:
   • v_по_тек = x + 4 (км/ч)
3. Скорость против течения:
   Когда катер плывет против течения (из В в А, если течение направлено от А к В), его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения:
   • v_против_тек = x - 4 (км/ч)
   Важно: Собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против течения, т.е. x > 4.
4. Время в пути:
   Время равно расстоянию, деленному на скорость.
• Время движения по течению: t_по_тек = S / v_по_тек = 77 / (x + 4) (часов)
• Время движения против течения: t_против_тек = S / v_против_тек = 77 / (x - 4) (часов)
5. Составим уравнение:
   По условию, на обратный путь (против течения) катер затратил на 2 часа меньше, чем на путь по течению. Это значит, что время движения против течения меньше.
• t_против_тек = t_по_тек - 2
• \[ \frac{77}{x - 4} = \frac{77}{x + 4} - 2 \]
6. Решим уравнение:
   Приведем к общему знаменателю. Умножим обе части уравнения на (x - 4)(x + 4), учитывая, что x ≠ 4 и x ≠ -4.
• \[ 77(x + 4) = 77(x - 4) - 2(x - 4)(x + 4) \]
• \[ 77x + 308 = 77x - 308 - 2(x^2 - 16) \]
• \[ 77x + 308 = 77x - 308 - 2x^2 + 32 \]
• \[ 308 = -308 - 2x^2 + 32 \]
• \[ 308 + 308 - 32 = -2x^2 \]
• \[ 584 = -2x^2 \]
• \[ x^2 = -292 \]
Ошибка в условии задачи или в моем понимании. По условию, обратный путь (если считать, что он против течения) должен занять БОЛЬШЕ времени, если скорость катера меньше скорости течения. Переформулируем:
Если катер вышел из А в В, то это может быть как по течению, так и против. Предположим, что А находится ниже по течению, чем В. Тогда из А в В - против течения, из В в А - по течению.

Переформулировка:
Пусть A - пункт отправления, B - пункт назначения. Расстояние 77 км.
Пусть катер плыл из А в В.
Пусть течение реки направлено от А к В.

Тогда:
Скорость по течению (из А в В) = x + 4
Время по течению (из А в В) = t_AB = 77 / (x + 4)

Скорость против течения (из В в А) = x - 4
Время против течения (из В в А) = t_BA = 77 / (x - 4)

По условию: «затратив на обратный путь на 2 часа меньше».
Обратный путь — это из В в А. Это значит, что t_BA = t_AB - 2.
Это невозможно, так как путь против течения всегда дольше, чем по течению (при той же скорости катера).

Единственный вариант, где обратный путь короче:
Катер плыл сначала ПРОТИВ течения (из А в В), а вернулся ПО течению (из В в А).

Пусть течение направлено от В к А.
Скорость из А в В (против течения): v_AB = x - 4
Время из А в В: t_AB = 77 / (x - 4)

Скорость из В в А (по течению): v_BA = x + 4
Время из В в А: t_BA = 77 / (x + 4)

Условие: «затратив на обратный путь на 2 часа меньше».
Обратный путь — из В в А.
t_BA = t_AB - 2
\[ \frac{77}{x + 4} = \frac{77}{x - 4} - 2 \]
7. Решим уравнение:
   Приведем к общему знаменателю (x + 4)(x - 4). Учитываем, что x > 4.
   \[ 77(x - 4) = 77(x + 4) - 2(x + 4)(x - 4) \]
8. \[ 77x - 308 = 77x + 308 - 2(x^2 - 16) \]
9. \[ 77x - 308 = 77x + 308 - 2x^2 + 32 \]
10. \[ -308 = 308 - 2x^2 + 32 \]
11. \[ -308 - 308 - 32 = -2x^2 \]
12. \[ -648 = -2x^2 \]
13. \[ x^2 = 324 \]
14. \[ x = \sqrt{324} \]
15. \[ x = 18 \]
16. Проверим условие x > 4: 18 > 4. Условие выполняется.
17. Найдем время:
    Время по течению (обратный путь): t_BA = 77 / (18 + 4) = 77 / 22 = 3.5 часа.
    Время против течения (путь туда): t_AB = 77 / (18 - 4) = 77 / 14 = 5.5 часа.
    Разница во времени: 5.5 - 3.5 = 2 часа. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 18 км/ч