Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 24 км, вышел первый турист. Через 40 мин из пункта В ему навстречу вышел второй турист, и они встретились через 2 ч 30 мин. Если бы они вышли одновременно, то встретились бы через 3 ч. Найдите скорости туристов.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого туриста, а \( v_2 \) — скорость второго туриста.

Первый случай:

Первый турист вышел раньше второго на 40 минут. Время его движения до встречи составило 2 ч 30 мин, а второй турист двигался 2 ч 30 мин - 40 мин = 1 ч 50 мин.

Переведём время в часы: 40 мин = \( \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \) ч, 2 ч 30 мин = \( 2.5 \) ч, 1 ч 50 мин = \( 1 + \frac{50}{60} = 1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6} \) ч.

Расстояние, пройденное первым туристом до выхода второго: \( S_1 = v_1 \cdot \frac{2}{3} \).

Общее расстояние между туристами равно 24 км. За время движения они прошли это расстояние вместе:

\( S_1 + v_1 \cdot \frac{11}{6} + v_2 \cdot \frac{11}{6} = 24 \)

Подставим \( S_1 \):

\( v_1 \cdot \frac{2}{3} + v_1 \cdot \frac{11}{6} + v_2 \cdot \frac{11}{6} = 24 \)

Приведём к общему знаменателю (6):

\( v_1 \cdot \frac{4}{6} + v_1 \cdot \frac{11}{6} + v_2 \cdot \frac{11}{6} = 24 \)

\( v_1 \cdot (4 + 11) + 11v_2 = 24 \in \)

\( 15v_1 + 11v_2 = 144 \) (1)

Второй случай:

Если бы туристы вышли одновременно, то встретились бы через 3 часа. За это время они прошли вместе 24 км:

\( v_1 \cdot 3 + v_2 \cdot 3 = 24 \)

Разделим на 3:

\( v_1 + v_2 = 8 \) (2)

Из уравнения (2) выразим \( v_2 \): \( v_2 = 8 - v_1 \).

Подставим это выражение в уравнение (1):

\( 15v_1 + 11(8 - v_1) = 144 \)

\( 15v_1 + 88 - 11v_1 = 144 \)

\( 4v_1 = 144 - 88 \)

\( 4v_1 = 56 \)

\( v_1 = \frac{56}{4} = 14 \) км/ч.

Теперь найдём \( v_2 \):

\( v_2 = 8 - v_1 = 8 - 14 = -6 \) км/ч.

Скорость не может быть отрицательной. Проверим условия задачи.

Переосмыслим первый случай.

Время движения первого туриста до встречи = \( t_1 = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} \) = \( 2.5 \) ч. Он вышел на 40 мин раньше. Время движения второго туриста = \( t_2 = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 40 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 50 \text{ мин} \) = \( 1 + \frac{50}{60} = 1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6} \) ч.

Расстояние, которое прошел первый турист за первые 40 мин = \( v_1 \cdot \frac{40}{60} = v_1 \cdot \frac{2}{3} \).

Общее расстояние = 24 км.

Когда второй турист вышел, расстояние между ними стало \( 24 - v_1 \cdot \frac{2}{3} \).

Затем они вместе прошли это расстояние за \( t_2 = \frac{11}{6} \) ч:

\( (v_1 + v_2) \cdot \frac{11}{6} = 24 - v_1 \cdot \frac{2}{3} \)

\( v_1 \cdot \frac{11}{6} + v_2 \cdot \frac{11}{6} = 24 - v_1 \cdot \frac{4}{6} \)

\( v_1 \cdot \frac{11}{6} + v_1 \cdot \frac{4}{6} + v_2 \cdot \frac{11}{6} = 24 \)

\( v_1 \cdot \frac{15}{6} + v_2 \cdot \frac{11}{6} = 24 \)

Умножим на 6:

\( 15v_1 + 11v_2 = 144 \) (1)

Второй случай:

\( (v_1 + v_2) \cdot 3 = 24 \)

\( v_1 + v_2 = 8 \) (2)

Из (2): \( v_2 = 8 - v_1 \).

Подставляем в (1):

\( 15v_1 + 11(8 - v_1) = 144 \)

\( 15v_1 + 88 - 11v_1 = 144 \)

\( 4v_1 = 144 - 88 \)

\( 4v_1 = 56 \)

\( v_1 = 14 \) км/ч.

\( v_2 = 8 - 14 = -6 \) км/ч. Опять отрицательная скорость. Это значит, что я неправильно понял условие.

Попробуем ещё раз, внимательно читая условие.

Случай 1:

Первый турист вышел из А в В. Второй турист вышел из В ему навстречу. Расстояние 24 км.

Время движения первого туриста до выхода второго: 40 мин = \( \frac{2}{3} \) ч.

Расстояние, пройденное первым туристом за эти 40 мин: \( S_{1,40} = v_1 \cdot \frac{2}{3} \).

Когда второй турист вышел, расстояние между ними стало \( 24 - v_1 \cdot \frac{2}{3} \).

Они встретились через 2 ч 30 мин = \( 2.5 \) ч после выхода второго туриста.

Сумма их скоростей умноженная на время встречи равна оставшемуся расстоянию:

\( (v_1 + v_2) \cdot 2.5 = 24 - v_1 \cdot \frac{2}{3} \)

\( 2.5v_1 + 2.5v_2 = 24 - \frac{2}{3}v_1 \)

Приведём к общему знаменателю (6):

\( \frac{5}{2}v_1 + \frac{5}{2}v_2 = 24 - \frac{2}{3}v_1 \)

\( \frac{15}{6}v_1 + \frac{15}{6}v_2 = 24 - \frac{4}{6}v_1 \)

\( 15v_1 + 15v_2 = 144 - 4v_1 \)

\( 19v_1 + 15v_2 = 144 \) (1)

Случай 2:

Если бы они вышли одновременно, то встретились бы через 3 часа.

\( (v_1 + v_2) \cdot 3 = 24 \)

\( v_1 + v_2 = 8 \) (2)

Из (2): \( v_2 = 8 - v_1 \).

Подставляем в (1):

\( 19v_1 + 15(8 - v_1) = 144 \)

\( 19v_1 + 120 - 15v_1 = 144 \)

\( 4v_1 = 144 - 120 \)

\( 4v_1 = 24 \)

\( v_1 = \frac{24}{4} = 6 \) км/ч.

Теперь найдём \( v_2 \):

\( v_2 = 8 - v_1 = 8 - 6 = 2 \) км/ч.

Проверка:

Случай 1: Первый турист прошёл \( 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \) км. Осталось \( 24 - 4 = 20 \) км. Затем они шли навстречу друг другу \( 2.5 \) часа. \( (6+2) \cdot 2.5 = 8 \cdot 2.5 = 20 \) км. Всё верно.

Случай 2: \( (6+2) \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \) км. Всё верно.

Ответ: Скорость первого туриста 6 км/ч, скорость второго туриста 2 км/ч.