Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 560 км, выехал первый автомобиль. Ровно через 1 час вслед за ним из пункта А выехал второй автомобиль со скоростью на 10 км/ч больше скорости первого. Найдите скорость второго автомобиля, если он прибыл в пункт В одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Задача:

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 560 км, выехал первый автомобиль. Ровно через 1 час вслед за ним из пункта А выехал второй автомобиль со скоростью на 10 км/ч больше скорости первого. Найдите скорость второго автомобиля, если он прибыл в пункт В одновременно с первым.

Дано:

• Расстояние (S) = 560 км
• Время выезда второго автомобиля отстает от первого на 1 час.
• Скорость второго автомобиля (v2) = Скорость первого автомобиля (v1) + 10 км/ч
• Время в пути у обоих автомобилей одинаковое.

Найти:

• Скорость второго автомобиля (v2)

Решение:

1. Обозначим переменные:
   • Пусть $$v_1$$ — скорость первого автомобиля (в км/ч).
   • Пусть $$v_2$$ — скорость второго автомобиля (в км/ч).
   • Пусть $$t_1$$ — время в пути первого автомобиля (в часах).
   • Пусть $$t_2$$ — время в пути второго автомобиля (в часах).
2. Связь между скоростями:
   • Мы знаем, что $$v_2 = v_1 + 10$$.
3. Связь между временем:
   • Так как второй автомобиль выехал на 1 час позже, а прибыл одновременно с первым, то время в пути второго автомобиля на 1 час меньше, чем у первого: $$t_2 = t_1 - 1$$.
4. Формула расстояния:
   • Расстояние = Скорость × Время ($$S = v \times t$$).
5. Уравнения для каждого автомобиля:
   • Для первого автомобиля: $$560 = v_1 \times t_1$$
   • Для второго автомобиля: $$560 = v_2 \times t_2$$
6. Подставим известные значения и связи в уравнения:
   • Из первого уравнения выразим $$t_1$$: $$t_1 = \frac{560}{v_1}$$.
   • Из второго уравнения выразим $$t_2$$: $$t_2 = \frac{560}{v_2}$$.
   • Теперь подставим эти выражения в уравнение связи времени ($$t_2 = t_1 - 1$$):
   • $$\frac{560}{v_2} = \frac{560}{v_1} - 1$$
   • Подставим $$v_2 = v_1 + 10$$:
   • $$\frac{560}{v_1 + 10} = \frac{560}{v_1} - 1$$
7. Решим полученное уравнение относительно $$v_1$$:
   • Приведем к общему знаменателю:
   • $$\frac{560}{v_1 + 10} = \frac{560 - v_1}{v_1}$$
   • Перемножим крест-накрест:
   • $$560 \times v_1 = (v_1 + 10) \times (560 - v_1)$$
   • $$560v_1 = 560v_1 - v_1^2 + 5600 - 10v_1$$
   • $$0 = -v_1^2 - 10v_1 + 5600$$
   • Умножим на -1, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:
   • $$v_1^2 + 10v_1 - 5600 = 0$$
8. Решим квадратное уравнение $$v_1^2 + 10v_1 - 5600 = 0$$ с помощью дискриминанта:
   • $$a = 1$$, $$b = 10$$, $$c = -5600$$
   • Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \times 1 \times (-5600) = 100 + 22400 = 22500$$
   • $$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$$
   • Найдем корни $$v_1$$:
   • $$v_1 = \frac{-b - - \sqrt{D}}{2a}$$
   • $$v_{1,1} = \frac{-10 + 150}{2 \times 1} = \frac{140}{2} = 70$$
   • $$v_{1,2} = \frac{-10 - 150}{2 \times 1} = \frac{-160}{2} = -80$$
   • Так как скорость не может быть отрицательной, $$v_1 = 70$$ км/ч.
9. Найдем скорость второго автомобиля:
   • $$v_2 = v_1 + 10 = 70 + 10 = 80$$ км/ч.
10. Проверка:
    • Время первого автомобиля: $$t_1 = \frac{560}{70} = 8$$ часов.
    • Время второго автомобиля: $$t_2 = \frac{560}{80} = 7$$ часов.
    • Разница во времени: $$t_1 - t_2 = 8 - 7 = 1$$ час. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 80 км/ч