15.Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 208 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше. Найдите собственную скорость катера, есл скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Пусть x км/ч – собственная скорость катера.
2. Тогда скорость катера по течению равна (x + 5) км/ч, а против течения (x - 5) км/ч.
3. Время, затраченное на путь из пункта А в пункт В (по течению), равно $$t_1 = \frac{208}{x+5}$$ часов.
4. Время, затраченное на обратный путь (против течения), равно $$t_2 = \frac{208}{x-5}$$ часов.
5. Из условия задачи известно, что на обратный путь катер затратил на 5 часов меньше, следовательно, можно составить уравнение: $$t_1 - t_2 = 5$$ $$\frac{208}{x+5} - \frac{208}{x-5} = 5$$
6. Решим уравнение: $$\frac{208(x-5) - 208(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 5$$ $$\frac{208x - 1040 - 208x - 1040}{x^2 - 25} = 5$$ $$\frac{-2080}{x^2 - 25} = 5$$ $$-2080 = 5(x^2 - 25)$$ $$-2080 = 5x^2 - 125$$ $$5x^2 = -2080 + 125$$ $$5x^2 = -1955$$ $$x^2 = -391$$
7. Полученное уравнение не имеет решения, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Время на путь по течению должно быть больше, чем на путь против течения, чтобы выполнялось условие, что на обратный путь затрачено на 5 часов меньше. Исправим условие и будем считать, что время на путь ИЗ пункта А в пункт В (по течению) на 5 часов меньше, чем на обратный путь. В этом случае, уравнение примет вид: $$t_2 - t_1 = 5$$ $$\frac{208}{x-5} - \frac{208}{x+5} = 5$$ $$\frac{208(x+5) - 208(x-5)}{(x-5)(x+5)} = 5$$ $$\frac{208x + 1040 - 208x + 1040}{x^2 - 25} = 5$$ $$\frac{2080}{x^2 - 25} = 5$$ $$2080 = 5(x^2 - 25)$$ $$2080 = 5x^2 - 125$$ $$5x^2 = 2080 + 125$$ $$5x^2 = 2205$$ $$x^2 = 441$$ $$x = \sqrt{441}$$ $$x = 21$$

Собственная скорость катера равна 21 км/ч.

Ответ: 21