Из пункта А в пункт В расстояние между которыми равно 210 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Давай разберем эту задачку по шагам.

1. Обозначим переменные:
• Пусть v — собственная скорость катера (то, что нам нужно найти), км/ч.
• Скорость течения реки — 3 км/ч.
• Расстояние между пунктами А и В — 210 км.
2. Скорость катера по течению и против течения:
• Когда катер плывет по течению (из А в В, если считать, что течение направлено из А в В), его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения: v + 3 км/ч.
• Когда катер плывет против течения (из В в А), его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения: v - 3 км/ч.
3. Время в пути:
• Время, затраченное на путь из А в В (по течению): t1 = расстояние / скорость = 210 / (v + 3) часов.
• Время, затраченное на путь из В в А (против течения): t2 = расстояние / скорость = 210 / (v - 3) часов.
4. Условие задачи:
• На обратный путь (против течения) катер затратил на 4 часа меньше. Это значит, что время пути по течению было на 4 часа больше, чем время пути против течения.
• Запишем это как уравнение: t1 = t2 + 4
• Подставим наши выражения для времени: 210 / (v + 3) = 210 / (v - 3) + 4
5. Решаем уравнение:
• Перенесем все члены с переменной 'v' в одну сторону, а числовые значения — в другую. Удобнее перенести дробь с '(v - 3)' влево, а '4' вправо, но тогда надо будет вычесть:
• 210 / (v + 3) - 210 / (v - 3) = 4
• Приведем левую часть к общему знаменателю (v + 3)(v - 3):
• (210 * (v - 3) - 210 * (v + 3)) / ((v + 3)(v - 3)) = 4
• Раскроем скобки в числителе:
• (210v - 630 - 210v - 630) / (v^2 - 9) = 4
• Упростим числитель:
• -1260 / (v^2 - 9) = 4
• Теперь умножим обе части на (v^2 - 9):
• -1260 = 4 * (v^2 - 9)
• Разделим обе части на 4:
• -315 = v^2 - 9
• Перенесем 9 в левую часть:
• -315 + 9 = v^2
• v^2 = -306
6. Анализируем результат:
• Получили, что квадрат скорости отрицательный (v^2 = -306). В реальном мире скорость не может быть мнимым числом.
• Давай проверим условие задачи еще раз. Возможно, я что-то не так понял или в задаче ошибка.
• Перечитаем: «затратив на обратный путь на 4 часа меньше». Это означает, что путь по течению занял больше времени, чем путь против течения. Это странно, потому что по течению скорость выше, и время должно быть меньше.
• Скорее всего, в условии задачи есть опечатка.
• Предположим, что катер затратил на ПУТЬ ПО ТЕЧЕНИЮ на 4 часа меньше, чем на ОБРАТНЫЙ ПУТЬ (против течения).
• Тогда уравнение будет выглядеть так: t2 = t1 + 4
• 210 / (v - 3) = 210 / (v + 3) + 4
• Перенесем дробь с '(v + 3)' влево:
• 210 / (v - 3) - 210 / (v + 3) = 4
• Приведем к общему знаменателю (v - 3)(v + 3):
• (210 * (v + 3) - 210 * (v - 3)) / ((v - 3)(v + 3)) = 4
• Раскроем скобки в числителе:
• (210v + 630 - 210v + 630) / (v^2 - 9) = 4
• Упростим числитель:
• 1260 / (v^2 - 9) = 4
• Умножим обе части на (v^2 - 9):
• 1260 = 4 * (v^2 - 9)
• Разделим обе части на 4:
• 315 = v^2 - 9
• Перенесем 9 в левую часть:
• 315 + 9 = v^2
• v^2 = 324
• Теперь найдем v, извлекая квадратный корень:
• v = sqrt(324)
• v = 18
7. Проверка:
• Собственная скорость катера (v) = 18 км/ч.
• Скорость по течению = 18 + 3 = 21 км/ч.
• Скорость против течения = 18 - 3 = 15 км/ч.
• Время по течению (t1) = 210 / 21 = 10 часов.
• Время против течения (t2) = 210 / 15 = 14 часов.
• Разница во времени = t2 - t1 = 14 - 10 = 4 часа.
• Это соответствует условию задачи (на обратный путь затратил на 4 часа меньше, то есть время по течению на 4 часа меньше, чем против течения).

Ответ: 18 км/ч