Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 288 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \(v\) — собственная скорость катера (в км/ч). Тогда скорость катера по течению равна \(v + 4\) км/ч, а против течения — \(v - 4\) км/ч.

Время в пути по течению:

• \(t_1 = \frac{288}{v+4}\) (ч)

Время в пути против течения:

• \(t_2 = \frac{288}{v-4}\) (ч)

По условию, на обратный путь катер затратил на 3 часа меньше, то есть:

• \(t_2 = t_1 - 3\)
• \(\frac{288}{v-4} = \frac{288}{v+4} - 3\)

Умножим обе части уравнения на \((v-4)(v+4)\) для избавления от знаменателей:

• \(288(v+4) = 288(v-4) - 3(v-4)(v+4)\)
• \(288v + 1152 = 288v - 1152 - 3(v^2 - 16)\)
• \(288v + 1152 = 288v - 1152 - 3v^2 + 48\)

Сократим \(288v\) с обеих сторон:

• \(1152 = -1152 - 3v^2 + 48\)
• \(1152 + 1152 - 48 = -3v^2\)
• \(2304 - 48 = -3v^2\)
• \(2256 = -3v^2\)
• \(v^2 = \frac{2256}{-3}\)

Произошла ошибка в расчётах, так как \(v^2\) не может быть отрицательным. Перепроверим уравнение.

Правильное уравнение:

• \(\frac{288}{v-4} - \frac{288}{v+4} = 3\)

Приведём к общему знаменателю:

• \(\frac{288(v+4) - 288(v-4)}{(v-4)(v+4)} = 3\)
• \(\frac{288v + 1152 - 288v + 1152}{v^2 - 16} = 3\)
• \(\frac{2304}{v^2 - 16} = 3\)

Теперь решим это уравнение:

• \(2304 = 3(v^2 - 16)\)
• \(2304 = 3v^2 - 48\)
• \(2304 + 48 = 3v^2\)
• \(2352 = 3v^2\)
• \(v^2 = \frac{2352}{3}\)
• \(v^2 = 784\)
• \(v = \sqrt{784}\)
• \(v = 28\)

Собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, \(28 > 4\), что является верным.

Ответ: 28 км/ч.