Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 297 км, вышел катер. До пункта В, вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь до пункта В. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Обозначения:
   • Пусть v — собственная скорость катера (км/ч).
   • Скорость катера по течению: v + 2 (км/ч).
   • Скорость катера против течения: v - 2 (км/ч).
   • Расстояние: S = 297 км.
2. Время в пути:
   • Время движения по течению: $$t_1 = \frac{297}{v + 2}$$ (ч).
   • Время движения против течения: $$t_2 = \frac{297}{v - 2}$$ (ч).
3. Уравнение: Из условия задачи известно, что на обратный путь (против течения) затрачено на 3 часа меньше, чем на путь по течению. Значит: $$t_2 = t_1 - 3$$. Подставляем выражения для времени: $$\frac{297}{v - 2} = \frac{297}{v + 2} - 3$$.
4. Решение уравнения:
   • Перенесем все члены в одну сторону: $$\frac{297}{v - 2} - \frac{297}{v + 2} + 3 = 0$$.
   • Приведем дроби к общему знаменателю $$(v - 2)(v + 2) = v^2 - 4$$: $$\frac{297(v + 2) - 297(v - 2) + 3(v^2 - 4)}{(v - 2)(v + 2)} = 0$$.
   • Раскроем скобки в числителе: $$297v + 594 - 297v + 594 + 3v^2 - 12 = 0$$.
   • Упростим: $$3v^2 + 1176 = 0$$.
   • $$3v^2 = -1176$$.
   • $$v^2 = -392$$.

   Обнаружена ошибка в условии задачи. В данном случае получается отрицательное значение для $$v^2$$, что невозможно для действительного числа. Проверим условие: «затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь до пункта В». Вероятно, имелось в виду, что на путь до пункта В (по течению) затрачено на 3 часа меньше, чем на обратный путь (против течения).

5. Коррекция условия и решение: Предположим, что $$t_1 = t_2 - 3$$. Тогда $$\frac{297}{v + 2} = \frac{297}{v - 2} - 3$$.
6. Решение скорректированного уравнения:
   • Перенесем все члены в одну сторону: $$\frac{297}{v + 2} - \frac{297}{v - 2} + 3 = 0$$.
   • Приведем дроби к общему знаменателю $$(v + 2)(v - 2) = v^2 - 4$$: $$\frac{297(v - 2) - 297(v + 2) + 3(v^2 - 4)}{(v + 2)(v - 2)} = 0$$.
   • Раскроем скобки в числителе: $$297v - 594 - 297v - 594 + 3v^2 - 12 = 0$$.
   • Упростим: $$3v^2 - 1200 = 0$$.
   • $$3v^2 = 1200$$.
   • $$v^2 = 400$$.
   • $$v = \sqrt{400}$$.
   • $$v = 20$$ (км/ч).

   Важно: Скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть $$v > 2$$. Полученное значение $$v = 20$$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 20 км/ч